Posted in August 2017

Vorige keer hebben we bekeken wat `Kwadratuur van de Cirkel’ inhoudt in het kader van Euclidische Meetkunde. We hebben ook gezien dat kwadratuur van de cirkel niet mogelijk is met een passer en een latje. Deze keer gaan we bekijken of er andere manieren zijn om die kwadratuur uit te voeren.

Banach en Tarski

In het begin van de twintigste eeuw rees de behoefte om aan steeds meer deelverzamelingen van de getallenlijn, het vlak, en de ruimte respectievelijk een `lengte’, `oppervlakte’ of `volume’ toe te kennen. Om enige afstand tot de concrete meetkunde te bewaren begon men het woord `maat’ te gebruiken en de eerste die een goede definitie van `maat’ formuleerde was Lebesgue, in 1908.
Later is dit door anderen in zijn volle algemeenheid uitgewerkt maar in de bovengenoemde drie gevallen gebruiken we de Lebesgue-maat nog vrijwel zo als Lebesgue hem gedefinieerd heeft.
Voor bekende meetkundige figuren geeft de Lebesgue-maat de reeds bekende waarde maar voor willekeurige verzamelingen gaat het niet altijd even goed.

Een extreem voorbeeld hiervan werd gegeven door de Polen Banach en Tarski. Voortbouwend op werk van Hausdorff lieten ze zien dat men een massieve bol met straal 1 in eindig veel (vijf is genoeg) deelverzamelingen kan verdelen, en dat men daarna die eindig veel stukken in elkaar kan schuiven tot twee massieve bollen van straal 1. Wie met het artikel van Banch en Tarski in de hand nu een wonderbaarlijke vermenigvuldiging van één sinaasappel tot twee sinaasappels wil uitvoeren komt bedrogen uit.
De bollen zijn ideale wiskundige bollen, geen fysieke sinaasappels. En, en daar was het Banach en Tarski om te doen, de stukken waarin ze de bol verdeelden zijn zo lelijk dat er op geen enkele manier een maat aan toe te kennen is. Immers als dat wel mogelijk was dan zou 1+1=1 bewezen zijn.

Terug naar het vlak

De vraag is nu of de wonderbaarlijke vermenigvuldiging in het vlak ook mogelijk is. Dat bleek niet het geval. Als je een verzameling die een maat heeft in eindig veel deelverzamelingen verdeelt en als je die stukken, hoe lelijk ook, tot een andere verzameling in elkaar legt en die nieuwe verzameling heeft een maat dan zijn de maten van beide verzamelingen gelijk.

U voelt hem wellicht al aankomen: Tarski formuleerde een abstracte versie van `de kwadratuur van de cirkel’: kunnen we een cirkelschijf, zeg van oppervlakte 1, in eindig veel verzamelingen verdelen en die stukken weer in elkaar schuiven tot een vierkant van oppervlakte 1?

In 1990 beantwoordde Miklos Laczkovich deze vraag met “Ja”. De gebruikte stukken zijn vrij lelijk, maar ze hoeven alleen verschoven te worden, draaien hoeft niet. De kwadratuur van de cirkel is dus mogelijk, zij het met instrumenten die veel geavanceerder zijn dan een passer en een liniaal.

Iets over het woord `lelijk’. De ontdekkingen door Banach en Tarski en anderen van verzamelingen waaraan geen maat toe te kennen is leidden tot een vakgebied dat Beschrijvende Verzamelingenleer is gaan heten. Hierin worden verzamelingen geklassificeerd naar hun beschrijvingen; het `lelijk’ dat ik een paar keer gebruikt heb kan daar precies gemaakt worden: de verzamelingen van Banach en Tarski, en van Laczkowicz hebben, noodzakelijk, beschrijvingen die vele malen ingewikkelder zijn dan die van verzamelingen die je normaal tegenkomt als lijnen, krommen en andere herkenbare figuren.

En toch …

Aan het eind van 2016 kreeg dit verhaal nog een nieuw slot. Andrew Marks en Spencer Unger bewezen dat de kwadratuur van de cirkel met stukken gedaan kan worden die in de Beschrijvende Verzamelingenleer als zeer mooi zouden worden aangemerkt, de technische term is “van Borel-complexiteit ten hoogste vier”. Voor U naar de winkel holt om deze `heel mooie’ legpuzzel aan te schaffen: hoewel de stukken in het grote geheel van de deelverzamelingen van het vlak redelijk eenvoudig zijn, zijn ze nou ook weer niet zo makkelijk met de hand te maken en vast te pakken.
Daar komt nog bij dat er wel een heel grote doos nodig is om alle stukken in te bewaren: bij een lezing over dit resultaat werd Andrew Marks naar het aantal benodigde stukken gevraagd; zijn antwoord: in de orde van grootte van 10²²⁰. Dat is dus een Googol in het kwadraat, maal nog een keer 10²⁰.

Verder lezen

Veel van wat hierboven is beschreven is uitgebreid na te lezen in The Banach-Tarski Paradox (second edition) van Grzegorz Tomkowicz en Stan Wagon uit 2016. Het resultaat van Marks en Unger is daar nog niet te vinden; `Borel circle-squaring’ is nog één van de grote open problemen in het boek. Wie zin heeft kan het artikel te pakken krijgen via arxiv.org.

`De kwadratuur van de cirkel’ is voor velen een metafoor voor onmogelijkheid en/of futiliteit; in het Engels is `circle-squarer’ een gangbare term voor iemand die iets onmogelijks voor elkaar probeert te krijgen.
Toch is het recentelijk gelukt: gegeven een cirkelschijf een vierkant maken met dezelfde oppervlakte, en wel door die schijf in een eindig aantal stukken te knippen, die op te schuiven en weer aan elkaar te leggen tot dat vierkant.
In de komende blogposts zal ik het verhaal van het probleem en de oplossing vertellen.

Lang geleden zag ik een cartoon waarop een passer te zien was die ‘s avonds op straat tegen een muur (of lantaarnpaal) geleund stond te dromen. In het droomballonnetje was een vierkant te zien. Ik heb die cartoon uitgeknipt en lang bewaard maar hij moet bij een verhuizing verloren zijn gegaan want ik kan hem niet meer vinden.

Nu kan je die cartoon op diverse niveaus waarderen maar voor mij was het een mooie illustratie bij een beroemd onmogelijkheidsbewijs uit de wiskunde: het is niet mogelijk met behulp van passer en liniaal bij een cirkelschijf met straal 1 een vierkant te maken met precies dezelfde oppervlakte als die schijf.

Euclides en Archimedes

Waarom `passer en liniaal’? Dat komt voort uit De Elementen van Euclides. Daarin wordt de Meetkunde opgebouwd vanuit een beperkt aantal uitgangspunten, waaronder de beroemde vijf postulaten. In de bewijzen worden alleen stappen gezet die in die postulaten beschreven zijn:

1. Gegeven twee punten trek de lijn door die twee punten.
2. Gegeven twee punten trek een cirkel door één van de punten en
   met het andere punt als middelpunt.

Euclides formuleerde de eerste stap in twee postulaten: je kunt de twee punten verbinden met een lijnstuk en dat lijnstuk kun je willekeurig verlengen; in redeneringen is het wat makkelijker in één keer die (oneindig lange) lijn getekend te denken. Deze twee stappen kunnen uitgevoerd worden met een liniaal en een passer, vandaar `passer en liniaal’. Overigens heeft die liniaal geen schaalverdeling en daarom spreken sommige boeken, om verwarring te voorkomen, liever van `passer en latje’.

De boeken van De Elementen staan dus vol met constructies die niet meer gebruiken dan de bovengenoemde twee stappen. Onder meer ook constructies van

1. een paralellogram met dezelfde oppervlakte als een gegeven driehoek
2. een rechthoek met dezelfde oppervlakte als een gegeven rechtlijnige figuur
3. een vierkant met dezelfde oppervlakte als een gegeven parallellogram

Het patroon lijkt me duidelijk: bij zoveel mogelijk figuren een vierkant maken met dezelfde oppervlakte. Dat is waar het woord `kwadratuur’ (wat ouder: `quadratuur’) vandaan komt: de oppervlakte van een figuur wordt bepaald geacht als er een vierkant met dezelfde oppervlakte is geconstrueerd.
Wat in De Elementen niet wordt gedaan is de oppervlakte van een cirkelschijf bepalen.

Iemand die wel iets over die oppervlakte kon zeggen was Archimedes. Die bewees dat de oppervlakte van een cirkelschijf met straal r gelijk is aan die van een driehoek met hoogte gelijk aan r en basis gelijk aan de omtrek van de cirkel.
Aangezien de omtrek van de cirkel gelijk is aan 2πr is de oppervlakte van de schijf dus gelijk aan ½×2πr×r en dat is gelijk aan het welbekende πr². Archimedes had deze notaties nog niet tot zijn beschikking; hij moest het bij de bovengegeven formulering houden. Hij liet ook zien dat, in moderne termen, π tussen de twee rationale getallen 3+10/71 en 3+10/70 ligt.
De bewijzen zijn on-line te vinden via de wikipedia-pagina “Measurement of a Circle”.

Onmogelijkheid

In de negentiende eeuw werd duidelijk waarom die kwadratuur van de cirkel niet in De Elementen gegeven was. Het is namelijk niet mogelijk om dat met alleen passer en latje te doen.

De sleutel tot deze oplossing ligt in het invoeren van coördinaten in het
platte vlak en het kijken wat men algebraïsch kan zeggen over de coördinaten van de punten die construeerbaar zijn vanuit de punten (0,0) en (1,0).
Het blijkt dat we met passer en latje kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en vierkantswortels trekken. En dat is alles.
Op deze manier zijn veel getallen, zoals √2, √(√2), √(2+√(3+√5)), … te construcren, maar lang niet alle getallen. In het bijzonder zijn de getallen π en √π niet met passer en latje te construeren; dat werd door Lindemann in 1882 aangetoond: er is geen enkele manier om uitgaande van het getal 1 en met gebruik van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en vierkantswortels het getal π te maken (en √π dus ook niet).

Volgende keer: als niet met passer en latje kan het op een andere manier wel? Het antwoord is ja, maar de constructie kost heel wat moeite.