Posts in category machtsverheffen

Het laatste cijfer

Op twitter werd gevraagd naar het laatste cijfer van het getal van Graham. Grappig genoeg heeft dat een redelijk eenvoudig antwoord.

In deze coronatijden krijgen ouders vragen van hun kinderen die deze meestal aan de onderwijzer(es) vragen, zoals

Nu is het getal van Graham het resultaat van een ongelooflijk aantal malen machten van 3 nemen, in een toren van 3-en. Het resulterende getal is nog groter. Maar hoe zou je het laatste cijfer van dat getal kunnen bepalen? Dat is eenvoudiger dan het lijkt. We doen het in stappen.

Om te beginnen het getal is een macht van 3 en als we de eerste paar machten van 3 opschrijven, en alleen het laatste cijfer noteren vinden we 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, … Dat dit zich zo blijft herhalen wordt duidelijk als je je realiseert dat het laatste cijfer van 3×n alleen van het laatste cijfer van n afhangt.

Welke van die vier cijfers is het nu? Welnu de exponent van het getal is weer een macht van drie en dus oneven. Dat betekent dat we alleen een 3 of een 7 als mogelijkheid overhouden. Als we van die exponent de rest kunnen vinden bij deling door 4 weten we welk van de twee het is.

Schrijf die resten maar op: 31 heeft rest 3; 32 heeft rest 1; 33 heeft rest 3; 34 heeft rest 1; … het patroon wordt duidelijk: bij oneven exponenten is het 1 en bij oneven exponenten is het 3.

Maar we hebben een toren van drieën, dus de exponent van de exponent is oneven en het eindcijfer is gelijk aan 7.

Iets geavanceerder

Als je hebt leren rekenen modulo getallen (`klokrekenen’) gaat het sneller.

Onze vondst van periode 4 vind je door te zeggen 31=3,
32=9, 33=27=7 modulo 10, 34=3×7=21=1 modulo 10 en zodra we 1 hebben gevonden is duidelijk dat we de periode hebben.

Dan moeten we modulo 4 rekenen om te weten of we 3 of 7 krijgen, maar 3=-1 modulo 4, dus 3k=(-1)k modulo 4 en dan is duidelijk wat we krijgen bij een oneven exponent.

Opgave

Probeer zelf de laatste twee cijfers van het getal van Graham te bepalen. Het duurt iets langer maar met een beetje volhouden kom je er wel.

Nul tot de macht nul

In de Facebookgroep Leraar Wiskunde ontspon zich een discussie over de waarde van 00 (nul tot de macht nul). Het begon met een opinieonderzoek met als opties

  1. 0
  2. 1
  3. onbepaald

De macht 00 komt wel eens voor bij het bepalen van limieten: als f(x) en g(x) limiet 0 hebben (als x naar een reëel getal of ∞ gaat) wat is dan de limiet van f(x)g(x)?

Je kunt proberen 00 te definiëren maar dat zal altijd een beetje onbevredigend blijven.
Het uitgangspunt zal natuurlijk de situatie zijn waar xy undubbelzinnig afgesproken kan worden. Dat is voor positieve x. Voor rationale y komt men met interpretatie `herhaald vermenigvuldigen’ een heel eind, zie bijvoorbeeld dit artikel in Pythagoras; daar wordt ook uitgelegd wat te doen als y irrationaal is.

Een andere aanpak is die van Cauchy. In zijn Analyse Algébrique vindt men vanaf bladzijde 106 hoe de continue functies φ te bepalen die voldoet aan de vergelijking φ(x+y) = φ(x)×φ(y). Het resultaat: exponentiële functies: er geldt φ(x)=φ(1)x.

Niets weerhoudt ons ervan te kijken wat er gebeurt als we φ(1)=0 eisen. Dan kunnen we het bewijs volgen zolang de exponent positief is; het resultaat is dat noodzakelijk 0x=0 en continuïteit dwingt ons dan 00=0 te nemen.

Aan de andere kant: Cauchy concludeerde ook dat φ(0)=1 in alle gevallen dat φ(1)>0; dan leidt een limietovergang tot de conclusie 00=1.

Er zijn natuurlijk diverse andere manieren om 00 via een limiet aan te pakken: voor de hand ligt te kijken wat met xx gebeurt als x (van boven) naar 0 nadert. Dat gaat het snelst via de gelijkheid xx=ex×ln(x): de limiet van die exponent is gelijk aan 0, dus de gehele limiet is gelijk aan 1.

Ik zou zeggen dat mogelijkheid 3 toch wel de juiste is.

Dat kunnen we nog beter beargumenteren door wat meer functies in het probleem van de limiet van de macht f(x)g(x) te stoppen.

Neem eens f(x)=exp(-1/x) en g(x)=x; beide functies hebben limiet 0 als x (van boven) naar 0 gaat. Maar f(x)g(x) is constant, met waarde e. Een kleine variatie: neem a>0 en verander g(x) in a×x; dan is de limiet gelijk aan e-a. We kunnen dus elk positief getal als limiet krijgen.

En het volgende paar functies geeft aan dat ∞ ook mogelijk is: neem f(x)=exp(-1/x^2) en g(x)=-x, dan is f(x)g(x) gelijk aan exp(1/x), met limiet ∞ als x (van boven) naar 0 gaat.

© 2011 TU Delft