Kwadratuur van de cirkel, I

`De kwadratuur van de cirkel’ is voor velen een metafoor voor onmogelijkheid en/of futiliteit; in het Engels is `circle-squarer’ een gangbare term voor iemand die iets onmogelijks voor elkaar probeert te krijgen.
Toch is het recentelijk gelukt: gegeven een cirkelschijf een vierkant maken met dezelfde oppervlakte, en wel door die schijf in een eindig aantal stukken te knippen, die op te schuiven en weer aan elkaar te leggen tot dat vierkant.
In de komende blogposts zal ik het verhaal van het probleem en de oplossing vertellen.

Lang geleden zag ik een cartoon waarop een passer te zien was die ‘s avonds op straat tegen een muur (of lantaarnpaal) geleund stond te dromen. In het droomballonnetje was een vierkant te zien. Ik heb die cartoon uitgeknipt en lang bewaard maar hij moet bij een verhuizing verloren zijn gegaan want ik kan hem niet meer vinden.

Nu kan je die cartoon op diverse niveaus waarderen maar voor mij was het een mooie illustratie bij een beroemd onmogelijkheidsbewijs uit de wiskunde: het is niet mogelijk met behulp van passer en liniaal bij een cirkelschijf met straal 1 een vierkant te maken met precies dezelfde oppervlakte als die schijf.

Euclides en Archimedes

Waarom `passer en liniaal’? Dat komt voort uit De Elementen van Euclides. Daarin wordt de Meetkunde opgebouwd vanuit een beperkt aantal uitgangspunten, waaronder de beroemde vijf postulaten. In de bewijzen worden alleen stappen gezet die in die postulaten beschreven zijn:

  1. Gegeven twee punten trek de lijn door die twee punten.
  2. Gegeven twee punten trek een cirkel door één van de punten en
    met het andere punt als middelpunt.

Euclides formuleerde de eerste stap in twee postulaten: je kunt de twee punten verbinden met een lijnstuk en dat lijnstuk kun je willekeurig verlengen; in redeneringen is het wat makkelijker in één keer die (oneindig lange) lijn getekend te denken. Deze twee stappen kunnen uitgevoerd worden met een liniaal en een passer, vandaar `passer en liniaal’. Overigens heeft die liniaal geen schaalverdeling en daarom spreken sommige boeken, om verwarring te voorkomen, liever van `passer en latje’.

De boeken van De Elementen staan dus vol met constructies die niet meer gebruiken dan de bovengenoemde twee stappen. Onder meer ook constructies van

  1. een paralellogram met dezelfde oppervlakte als een gegeven driehoek
  2. een rechthoek met dezelfde oppervlakte als een gegeven rechtlijnige figuur
  3. een vierkant met dezelfde oppervlakte als een gegeven parallellogram

Het patroon lijkt me duidelijk: bij zoveel mogelijk figuren een vierkant maken met dezelfde oppervlakte. Dat is waar het woord `kwadratuur’ (wat ouder: `quadratuur’) vandaan komt: de oppervlakte van een figuur wordt bepaald geacht als er een vierkant met dezelfde oppervlakte is geconstrueerd.
Wat in De Elementen niet wordt gedaan is de oppervlakte van een cirkelschijf bepalen.

Iemand die wel iets over die oppervlakte kon zeggen was Archimedes. Die bewees dat de oppervlakte van een cirkelschijf met straal r gelijk is aan die van een driehoek met hoogte gelijk aan r en basis gelijk aan de omtrek van de cirkel.
Aangezien de omtrek van de cirkel gelijk is aan 2πr is de oppervlakte van de schijf dus gelijk aan ½×2πr×r en dat is gelijk aan het welbekende πr2. Archimedes had deze notaties nog niet tot zijn beschikking; hij moest het bij de bovengegeven formulering houden. Hij liet ook zien dat, in moderne termen, π tussen de twee rationale getallen 3+10/71 en 3+10/70 ligt.
De bewijzen zijn on-line te vinden via de wikipedia-pagina “Measurement of a Circle”.

Onmogelijkheid

In de negentiende eeuw werd duidelijk waarom die kwadratuur van de cirkel niet in De Elementen gegeven was. Het is namelijk niet mogelijk om dat met alleen passer en latje te doen.

De sleutel tot deze oplossing ligt in het invoeren van coördinaten in het
platte vlak en het kijken wat men algebraïsch kan zeggen over de coördinaten van de punten die construeerbaar zijn vanuit de punten (0,0) en (1,0).
Het blijkt dat we met passer en latje kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en vierkantswortels trekken. En dat is alles.
Op deze manier zijn veel getallen, zoals √2, √(√2), √(2+√(3+√5)), … te construcren, maar lang niet alle getallen. In het bijzonder zijn de getallen π en √π niet met passer en latje te construeren; dat werd door Lindemann in 1882 aangetoond: er is geen enkele manier om uitgaande van het getal 1 en met gebruik van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en vierkantswortels het getal π te maken (en √π dus ook niet).

Volgende keer: als niet met passer en latje kan het op een andere manier wel? Het antwoord is ja, maar de constructie kost heel wat moeite.

Be Sociable, Share!

4 comments

Zijde vierkant x 5/8 = straal cirkel, de enige constante. Straal delen door acht x 50.2 = omtrek cirkel of, diameter x 3.1375 = omtrek cirkel. Straal delen door 8 x 51.2 = omtrek vierkant waaruit blijkt dat de cirkelomtrek 1/51.2e kleiner is dan de omtrek van het vierkant.

sorry 25/8

De constante is diameter versus diagonaal.
Diameter 1 delen door 4 =4/4
Diagonaal = 5/4.
Diagonaal² / 2 = oppervlakte vierkant.
Diagonaal / 4 = 1/10 omtrek cirkel met opp = vierkant. 1/10* 10 = omtrek cirkel / diameter = pi. 3.125 of 5/8.

Mijn opzoekingswerk geeft het volgende resultaat; na correctie van het getal pi, van 3,1415 naar 3,1375 (4000e kleiner).
Kwadratuur van de cirkel of, maak van de omtrek van de cirkel een vierkant.
Omtrek van de cirkel blijkt 1/8ste straal kleiner dan de omtrek van het vierkant.
1/8ste straal x 51,2 = omtrek vierkant.
1/8ste straal x 50,2 = omtrek cirkel.
In dit geval is het getal Pi niet van toepassing omdat Pi een benadering is en dus niet exact. Deze resultaten zijn correct zolang het tegendeel niet is bewezen.De kwadratuur van de cirkel blijkt een compromis tussen het tiendelig talstelsel en het achttallig talstelsel (binair). De cirkel blijkt analoog, het vierkant digitaal. Ziedaar mijn bevindingen.

Leave a Reply

Your email address will not be published.

¬© 2011 TU Delft