Posts in category limieten

Continuïteitsmaximalisatie

Op twitter, via Japka-d. Bouma, een mooi woord gevonden: continuïteitsmaximalisatie. Ik vroeg me meteen af of ik daar wiskundig chocola van kon maken.

Hier is de tweet waar het mee begon.

Op het eerste gezicht lijkt er aan continuïteit weinig te maximaliseren: een functie is continu of niet en daar is de kous mee af, lijkt het. Maar de situatie waar het in de tweet om gaat wijst in een richting waar de ene continuïteit beter is dan de andere. Het gaat er om een overname van een bedrijf zo goed mogelijk te laten verlopen.

Natuurlijk wil je bij een overname geen plotselinge sprongen zien; dat komt overeen met het wiskundige idee van continuïteit: het traject van de opvolger begint waar dat van de voorganger stopt. Maar dat is niet genoeg; de grafiek van de absolute-waardefunctie laat zien wat in de praktijk wat ongewenst is: een plotselinge verandering van richting.

De trajecten moeten glad aansluiten (`glad’ is eigenlijk een beter woord dan `continu’, gladheidsmaximalisatie dus); de aansluiting moet differentieerbaar verlopen. Maar, een plotse verandering van snelheid is ook niet prettig; dus de snelheid ook maar glad (differentieerbaar) houden dus (continue versnelling). Wat men zich echter niet realiseert is dat de derde afgeleide, de afgeleide van de versnelling dus, ook niet al te veel moet veriëren: die derde afgeleide heet de jerk (de ruk) van een beweging en is veelal de hoofdoorzak van misselijkheid.

Zo kunnen we natuurlijk door blijven gaan en steeds meer gladheid eisen. Dan komt er van maximalisatie niet veel terecht. Maar er is wel een maximum te benoemen. In eerste instantie zou je zeggen dat oneindig vaak differentieerbaar toch wel het beste is wat gehaald kan worden. Er is zo’n mooie overgang: definieer f(x)=0 voor x≤0, en voor x>0 nemen we f(x)=exp(-1/x); een plaatje van de grafiek voor x tussen 0 en 1 op Wolfram Alpha laat zien dat hier inderdaad een zeer gladde overgang bereikt wordt. Deze functie is inderdaad superglad: oneindig vaak differentieerbaar in 0.

Is dat het maximaal haalbare? Nee, onder de supergladde functies zijn er die extra-superglad zijn: de analytische functies; daar is de functie hierboven er niet een van. Analytische functies zijn de echte continuïteitsmaximaliseerders en de meeste functies die mooi lijken zijn het ook: de sinus, de cosinus, de e-macht, de wortel, … allemaal analytisch.

Mathsplaining

Gisteren gebruikte Aafke Romeijn in een tweet de frase mansplaining tot de macht oneindig. Ik kon nog net virtueel op mijn tong bijten maar nu moet ik toch even aan het mathsplainen.

Dat “tot de macht oneindig” klinkt wel indrukwekkend maar de kans is groot dat je er niet mee bereikt wat je wilt. Want wat betekent “tot de macht oneindig” eigenlijk? Wiskundig dan. En wat betekent “oneindig”? In dit geval zullen we het maar op het ∞ van de Analyse houden. Dan betekent “mainsplaining tot de macht oneindig” niets anders dan “de limiet van mainsplainingn voor n naar ∞”.

OK, maar dan moeten we dus eerst betekenis hechten aan “mansplaining-kwadraat”,
“mansplaining tot de derde macht”, … en vervolgens het gedrag van die machten van mansplaining bestuderen. Tsja, en dan komt het: hoe vermenigvuldig je mansplaining met zichzelf? Wiskundig betekent het woord niets maar we kunnen wat vermenigvuldigbare zaken langslopen.

We kunnen getallen vermenigvuldigen, en dus ook machtsverheffen. Maar dan komt het: is mansplaining negatief? Voor velen wel, denk ik. Jammer dan, maar dan is het kwadraat positief, de derde macht negatief, de vierde macht positief, … dan kun je het schudden: de limiet bestaat niet. Tenzij, …, je vindt dat mansplaining eigenlijk wel zielig is en weinig waarde heeft, zeg absolute waarde kleiner dan 1. Dan convergeren die machten naar 0 en dan is mansplaining tot de macht oneindig dus gelijk aan 0. Ik weet niet of dat Aafke Romeijn voor ogen stond.

Mansplaining is natuurlijk irreëel en irrationaal; dat lijkt wiskundig niet goed te gaan maar je kunt het interpreteren als “een complex getal met irrationaal argument”. Wiskundigen zien hier meteen een woordspeling: het woord `argument’ heeft in de wereld van de complexe getallen zijn geheel eigen betekenis. Dan leidt machtsverheffen tot een duizeligmakend ronddraaien; het hangt van de absolute waarde af of dit naar 0 convergeert, of naar ∞, of zonder limiet de eenheidscirkel blijft rondlopen. (Om andere mathsplainers de wind uit de zeilen te nemen: dat argument is een irrationaal veelvoud van π.)

Een mansplainer projecteert zijn eigen meningen en gedachten op hetgeen hij aan het mansplainen is. Dat leidt tot een wat merkwaardige situatie: wiskundig is het kwadraat van een projectie de projectie zelf. En dus is elke macht van mansplaining gelijk aan mansplaining zelf, met als conclusie dat mansplaining tot de macht oneindig gewoon mansplaining is. Eigenlijk wel een mooie conclusie: mansplaining is al zo erge flauwekul dat het zijn eigen oneindige macht is.

Nul tot de macht nul

In de Facebookgroep Leraar Wiskunde ontspon zich een discussie over de waarde van 00 (nul tot de macht nul). Het begon met een opinieonderzoek met als opties

  1. 0
  2. 1
  3. onbepaald

De macht 00 komt wel eens voor bij het bepalen van limieten: als f(x) en g(x) limiet 0 hebben (als x naar een reëel getal of ∞ gaat) wat is dan de limiet van f(x)g(x)?

Je kunt proberen 00 te definiëren maar dat zal altijd een beetje onbevredigend blijven.
Het uitgangspunt zal natuurlijk de situatie zijn waar xy undubbelzinnig afgesproken kan worden. Dat is voor positieve x. Voor rationale y komt men met interpretatie `herhaald vermenigvuldigen’ een heel eind, zie bijvoorbeeld dit artikel in Pythagoras; daar wordt ook uitgelegd wat te doen als y irrationaal is.

Een andere aanpak is die van Cauchy. In zijn Analyse Algébrique vindt men vanaf bladzijde 106 hoe de continue functies φ te bepalen die voldoet aan de vergelijking φ(x+y) = φ(x)×φ(y). Het resultaat: exponentiële functies: er geldt φ(x)=φ(1)x.

Niets weerhoudt ons ervan te kijken wat er gebeurt als we φ(1)=0 eisen. Dan kunnen we het bewijs volgen zolang de exponent positief is; het resultaat is dat noodzakelijk 0x=0 en continuïteit dwingt ons dan 00=0 te nemen.

Aan de andere kant: Cauchy concludeerde ook dat φ(0)=1 in alle gevallen dat φ(1)>0; dan leidt een limietovergang tot de conclusie 00=1.

Er zijn natuurlijk diverse andere manieren om 00 via een limiet aan te pakken: voor de hand ligt te kijken wat met xx gebeurt als x (van boven) naar 0 nadert. Dat gaat het snelst via de gelijkheid xx=ex×ln(x): de limiet van die exponent is gelijk aan 0, dus de gehele limiet is gelijk aan 1.

Ik zou zeggen dat mogelijkheid 3 toch wel de juiste is.

Dat kunnen we nog beter beargumenteren door wat meer functies in het probleem van de limiet van de macht f(x)g(x) te stoppen.

Neem eens f(x)=exp(-1/x) en g(x)=x; beide functies hebben limiet 0 als x (van boven) naar 0 gaat. Maar f(x)g(x) is constant, met waarde e. Een kleine variatie: neem a>0 en verander g(x) in a×x; dan is de limiet gelijk aan e-a. We kunnen dus elk positief getal als limiet krijgen.

En het volgende paar functies geeft aan dat ∞ ook mogelijk is: neem f(x)=exp(-1/x^2) en g(x)=-x, dan is f(x)g(x) gelijk aan exp(1/x), met limiet ∞ als x (van boven) naar 0 gaat.

¬© 2011 TU Delft