Posted in January 2018

Nul tot de macht nul

In de Facebookgroep Leraar Wiskunde ontspon zich een discussie over de waarde van 00 (nul tot de macht nul). Het begon met een opinieonderzoek met als opties

  1. 0
  2. 1
  3. onbepaald

De macht 00 komt wel eens voor bij het bepalen van limieten: als f(x) en g(x) limiet 0 hebben (als x naar een reëel getal of ∞ gaat) wat is dan de limiet van f(x)g(x)?

Je kunt proberen 00 te definiëren maar dat zal altijd een beetje onbevredigend blijven.
Het uitgangspunt zal natuurlijk de situatie zijn waar xy undubbelzinnig afgesproken kan worden. Dat is voor positieve x. Voor rationale y komt men met interpretatie `herhaald vermenigvuldigen’ een heel eind, zie bijvoorbeeld dit artikel in Pythagoras; daar wordt ook uitgelegd wat te doen als y irrationaal is.

Een andere aanpak is die van Cauchy. In zijn Analyse Algébrique vindt men vanaf bladzijde 106 hoe de continue functies φ te bepalen die voldoet aan de vergelijking φ(x+y) = φ(x)×φ(y). Het resultaat: exponentiële functies: er geldt φ(x)=φ(1)x.

Niets weerhoudt ons ervan te kijken wat er gebeurt als we φ(1)=0 eisen. Dan kunnen we het bewijs volgen zolang de exponent positief is; het resultaat is dat noodzakelijk 0x=0 en continuïteit dwingt ons dan 00=0 te nemen.

Aan de andere kant: Cauchy concludeerde ook dat φ(0)=1 in alle gevallen dat φ(1)>0; dan leidt een limietovergang tot de conclusie 00=1.

Er zijn natuurlijk diverse andere manieren om 00 via een limiet aan te pakken: voor de hand ligt te kijken wat met xx gebeurt als x (van boven) naar 0 nadert. Dat gaat het snelst via de gelijkheid xx=ex×ln(x): de limiet van die exponent is gelijk aan 0, dus de gehele limiet is gelijk aan 1.

Ik zou zeggen dat mogelijkheid 3 toch wel de juiste is.

Dat kunnen we nog beter beargumenteren door wat meer functies in het probleem van de limiet van de macht f(x)g(x) te stoppen.

Neem eens f(x)=exp(-1/x) en g(x)=x; beide functies hebben limiet 0 als x (van boven) naar 0 gaat. Maar f(x)g(x) is constant, met waarde e. Een kleine variatie: neem a>0 en verander g(x) in a×x; dan is de limiet gelijk aan e-a. We kunnen dus elk positief getal als limiet krijgen.

En het volgende paar functies geeft aan dat ∞ ook mogelijk is: neem f(x)=exp(-1/x^2) en g(x)=-x, dan is f(x)g(x) gelijk aan exp(1/x), met limiet ∞ als x (van boven) naar 0 gaat.

Misplacing ones excrement

In the somewhat more colourful language of this site: The Internet is losing its shit over this second grade math problem.

What is the problem?

“There are 49 dogs signed up to compete in the dog show. There are 36 more small dogs than large dogs signed up to compete. How many small dogs are signed up to compete?”

The answers that are discussed on the site are

  1. 36, with an argument not worthy of the name: 49-36=13, so 13 large dogs, so the answer is 36
  2. 42.5, because 49-36=13, 13/2=6.5 and 36+6.5=42.5
  3. 36 once more, but with the added information that 36-13=23, that’s 23 more small dogs

Answers 1 and 3 suffer from something that I observe with many first-year students: I ask something, in a Calculus class it is quite often a primitive function, and many suggestions come flying in, with the expectation that I will deem one of them correct. My reaction then is: you could have checked your answer yourself, in the case of the primitive by differentiation. That is why I asked that question in the first place: to show that they can verify many of their solutions by just substituting back into whatever it was they were solving.

You can verify whether 36 is correct: 36 small dogs is 23 more than 13 large dogs and 23 is definitely not equal to 36. So, no, 36 is not the correct answer.

The second answer — “That’s how I did it in my head.” — is correct, albeit unfortunate for one dog. It is also how I would (try to) explain it to a second-grader.
There are 36 more small dogs than large dogs, so we can set 36 small dogs aside and then look at the remaining dogs. If we want to keep the difference equal to 36 then we must be able to take away two dogs at a time (small and large) from those remaining until we have a group of small and a group of large dogs left. Most likely the second-grader will tell you that that is not going to happen with an odd number of dogs. The conclusion of course is that this is an ill-posed problem.

You can solve this problem — or rather, show it’s unsolvability — in other ways.
The sum of the two numbers in question is odd, that means that they have different parity, i.e., one is odd the and other is even, but then their difference is odd as well and it can’t be 36.
Or you can introduce letters, S and L, and express the demands as equations: S+L=49 and S-L=36. Solving these will lead to the solution done in the head: 2S=85, hence S=42.5 and L=6.5.

I hope that the teacher will admit that there was an error in the problem and that they will turn this into a valuable lesson: you can often check whether your answer is correct or makes sense.

Flauwekul

Op de Facebookpagina Wiskundelessen stond laatst een oude bekende: een bewijs van de gelijkheid 2=1 door middel van differentiëren. Dat gaat als volgt: schrijf x2=x×x=x+x+…+x (met x termen). Links en rechts differentiëren geeft 2x=1+1+…+1 (met x termen) en dus 2x=x en daarmee 2=1.

De commentaren vielen eigenlijk een beetje tegen. De enig juiste reactie zou moeten zijn: dat is flauwekul.
Hoezo flauwekul? Nou, vul voor x maar eens iets in als π of ½. Zie je het voor je? Je neemt een halve term die gelijk is aan ½ en die tel je op ….

Hier zit een serieus probleem achter: in het basisonderwijs komt vermenigvuldiging vaak eerst te voorschijn als afkorting voor herhaald optellen van hetzelfde getal. Immers, 5×6 is toch wat korter dan 6+6+6+6+6. Later blijkt dat dat je een veldje van 5 bij 6 meter in 5×6 blokken van 1 bij 1 meter kunt verdelen; dan wordt vermenigvuldigen ook nuttig bij het berekenen van oppervlakten: oppervlakte=lengte×breedte. Maar voor die lengte en breedte kun je ook andere dan natuurlijke getallen invullen en dan is die vermenigvuldiging nog niet afgesproken. Nog later komen er ook nog negatieve getallen bij en dan kan dat vermenigvuldigen best ingewikkeld worden.

Keith Devlin heeft over dit probleem twee lezenswaardige columns geschreven: It Ain’t No Repeated Addition en It’s Still Not Repeated Addition. Ik ga zijn verhalen hier niet overschrijven maar de essentie is dat optelling en vermenigvuldiging van (reële, complexe, …) getallen twee losse bewerkingen zijn, met als enige verbindende relatie de distributieve wet. Losjes gesproken gaat optellen over toevoegen en vermenigvuldigen over schalen. Als we het over π2 hebben dan bedoelen we dus π geschaald met een factor π en niet zoiets raars als de som van π termen die allemaal gelijk zijn aan π.

En dan hebben we het nog niet over machtsverheffen gehad … Dat leren we in eerste instantie door herhaald vermenigvuldigen maar op een gegeven moment gaat ook dat schuren als we het resultaat van exponentiële groei op niet-rationale tijdstippen willen weergeven.

Eén van mijn favoriete vragen aan eerstejaarsstudenten is naar de definitie van de exponentiële functie 2x; in het bijzonder wat de waarde van 2√2 zou moeten zijn, of beter: hoe je die zou definiëren.
Ik moet bekennen dat ik me in dat artikel aan `herhaald vermenigvuldigen’ heb bezondigd; de juiste definitie van 2x is: de unieke continue functie φ die voldoet aan φ(1)=2 en φ(x+y)=φ(x)×φ(y) voor alle x en y. Lees Analyse Algébrique van Cauchy er maar op na.

Maple en zo, II

“Waarom makkelijk als het moeilijk kan”, lijkt onze vraagsteller gedacht te hebben.

Eigenlijk is het gebruik van Maple en zo een recht dat je moet verwerven.

Maple en zo

Om met een Computer-Algebra-Systeem (CAS) als Maple of Mathematica om te kunnen gaan helpt het als je wat wiskunde beheerst. Dat bleek bijvoorbeeld bij het beantwoorden van een vraag op de wisfaq.

Het begon met deze vraag; daarin kwam een geweldige integraal ter sprake:

uit de rest van de vraag bleek dat de ondergrens in de integraal ta0 had moeten zijn in plaats van 0. De vraagsteller had dat niet in de gaten en probeerde behulp van het commando piecewise Maple tot het bepalen van de integraal te verleiden. Dat lukte niet.

Bij mijn antwoord op de eerste reactie heb ik, met de hand, de integraal getransformeerd tot een vorm waarin duidelijk werd dat we hier met een getransformeerde β-functie te maken hadden.
De volgende reactie laat zien wat er gebeurt als je niet goed weet wat je doet; het lukte niet de transformatie om te keren.
Twee reacties later leek het verhaal bijna te ontsporen want er kwam een `Gegeneraliseerde β-verdeling’ ter sprake; of het resultaat daar een speciaal geval van was? Door de parameters geschikt te kiezen leek dat wel het geval.
Maar eigenlijk was dat te veel eer; bij de laatste reactie bleek dat om niet veel meer ging dan de dichtheids (p+q)xp+q-1 op het interval [0,1] ging, maar dan getransformeerd.

Wat mij vooral opviel dat er geen enkele poging werd gedaan de Mapleuitvoer een beetje te fatsoeneren of te vereenvoudigen, terwijl dat toch heel wel mogelijk was. En er werd ook geen onderscheid gemaakt (of gezien) tussen hoofd- en bijzaken.

¬© 2011 TU Delft