Posts in category Uncategorized

Lariekoek? I

Dit is de vierde in een korte serie blogposts naar aanleiding van een discussie op twitter over dit stuk op Neerlandistiek.nl van Marc van Oostendorp dat zelf weer een reactie op dit artikel van Paul Postal was. In de eerste post kwalificeerde ik een opmerking uit het stuk van Postal als lariekoek. Daar gaat deze post over.

De opmerking van Postal betreft de grootte van de `collectie’ van alle boeken in een taal. Die collectie is niet alleen oneindig groot, niet alleen overaftelbaar, maar zelfs groter dan elke denkbare verzameling. Voor (een idee van) het bewijs van deze bewering verwijst Postal naar het artikel Sets and Sentences en een boek, The Vastness of Natural Languages, beide geschreven door hemzelf en D. Terrence Langendoen.

Ik heb wat met verzamelingen en wilde daarom wel eens zien waarom de collectie boeken in een Natuurlijke Taal zo groot moest zijn. Het boek heb ik niet te pakken kunnen krijgen maar deze recensie beweert dat de kern van de inhoud al in het artikel staat. laten we dat artikel dan maar eens bekijken.

Het artikel bestaat uit drie delen: een korte inleiding, een deel waarin “naar analogie met Cantors’s resultaten” wordt beargumenteerd dat de zinnen in een natuurlijke taal geen verzameling vormen, en een deel met conclusies.

Dat tweede deel begint met wat definities die het beschrijven van constructies van nieuwe `zinnen’ uit oude mogelijk moeten maken. Het hoofdingrediënt is dat van een conjunct, dat is een eenheid die bestaat uit een connectief en een deelconjuct. Die conjuncties kunnen in/tot `co-ordinate compound constituents’ samengevoegd worden. Zo’n co-ordinate compound moet wel echt `compound’ zijn en dus uit ten minste twee conjuncten gevormd worden.
Vervolgens spreken de schrijvers af hoe uit een verzameling U van constituents een co-ordinate compound constituent T gemaakt kan worden; of beter: hoe we kunnen zien dat T uit U gemaakt is. Elke conjuct in T heeft een element van U als deelconjunct, elk element van U is deelconjunct van precies één conjuct van T, en de conjuncten in T zijn geordend (daarover later meer).
In dit geval is T een `co-ordinate projection‘ van U, en U is de `projection set van T. Let op het gebruik van `een’ en `de’ in de vorige zin.

Ik kan begrijpen dat dit allemaal nogal abstract overkomt en ik moest het zelf een paar keer lezen voor ik dacht door te hebben wat er aan de hand is. Achter al die termen zitten plaatjes als het onderstaande verscholen:

syntax-boom

De verzameling U bestaat uit de constituents `Marc’ en `KP’; uit elk element van U kunnen we een conjunct maken door er een connectief aan vast te plakken. Dat connectief kan leeg zijn, zoals bij `Marc’ omdat, bijvoorbeeld, je aan het begin van een zin geen voegwoord gebruikt en toch iets nodig hebt om je conjuct te markeren. Daar nemen we dan ∅ maar voor. In de woorden van Langendoen en Postal: C1 en C2 zijn de dochters van T, die zusters zijn elk een conjuct, bestaande uit een connectief en een deelconjuct.

De hoofdaanname, of het hoofdaxioma, is nu dat elke verzameling constituents tot een co-ordinate compound constituent gevormd kan worden. De (co-ordinate compound) constituents waar we het verder over zullen hebben zijn gewoon zinnen, en daarom zal ik ze verder ook maar zo noemen.

Om te beginnen maken we oneindig veel zinnen:

  • De reële rechte is overaftelbaar
  • Ik weet dat de reële rechte overaftelbaar is
  • Ik weet dat ik weet dat de reële rechte overaftelbaar is
  • Ik weet dat ik weet dat ik weet dat de reële rechte overaftelbaar is

Niet erg opwindende zinnen maar daar gaat het niet om: er is een duidelijke procedure die voor elk natuurlijk getal n een zin Z(n) construeert. Dit is een voorbeeld van een recursieve definitie: als we een beginobject beschrijven en een recept aangeven om elk volgende object te maken dan beschouwen we de constructie als voltooid.
Voor elke deelverzameling U van deze verzameling {Z(n):n∈N} van zinnen bestaat er dus een zin waarvan de deelconjucten precies de zinnen uit U zijn. Dat geeft ons dan overaftelbaar veel zinnen.
Daarmee is het hek van de dam: we kunnen blijven doorgaan en elke deelverzameling van de nieuwe verzameling zinnen weer samensmeden tot een nieuwe zin. En weer, en weer, en weer, …

De conclusie van Langendoen en Postal is nu dat alle zinnen die we zo kunnen maken geen verzameling vormen. Hier komt de analogie met Cantor’s resultaten om de hoek kijken. Cantor bewees namelijk dat elke verzameling strikt meer deelverzamelingen heeft dan elementen. Als je dit toepast op `de verzameling van alle verzamelingen’ kom je in de knoop: de elementen van die `verzameling’ zijn precies zijn deelverzamelingen, maar dat kan niet omdat er meer deelverzamelingen dan elementen zijn. De entiteit `de verzameling van alle verzamelingen’ bestaat dus niet.
Dezelfde redenering is nu van toepassing op `de verzameling van alle zinnen in een natuurlijke taal’: elke deelverzameling bepaalt een zin en verschillende deelverzamelingen bepalen verschillende zinnen en dat druist in tegen de conclusie van Cantor: altijd strikt meer deelverzamelingen dan elementen.

Waarom Lariekoek?

Waarom denk ik dat dit lariekoek is? Dat heeft vooral te maken met de manier waarop Langendoen en Postal hun `bewijs’ presenteren. Daar is wiskundig veel op af te dingen. Maar deze post is al behoorlijk lang en ik bewaar mijn wiskundige opmerkingen, bijvoorbeeld over de bovengenoemde ordeningen daarom maar voor deel twee.

BMI en de divergentiestelling? Nou, nee.

Op de wisfaq een vraag: Wat is de link tussen de BMI en de divergentiestelling? Die link is er niet.
Even recapituleren:

  • De body mass index (BMI) of Quetelet index van personen is hun massa gedeeld door het kwadraat van hun lengte, in kg/m2.
  • De divergentiestelling verbindt twee integralen, de een over een lichaam, de ander over de rand van dat lichaam. Losjes gesproken laat het zien welke functie zorgt voor de productie van hetgeen via een vectorveld door de rand naar buiten ontsnapt.

Wat hebben die twee met elkaar te maken? Nou, niks. Je zou denken dat het iets met warmtestroming door de huid en de productie van energie in het lichaam te maken zou kunnen hebben maar de eenheden kloppen daarvoor van geen kant.
De geschiedenis van de BMI laat echter nog veel duidelijker zien dat er geen verband is. Het de zin en onzin van de BMI is tien jaar geleden al mooi door Keith Devlin beschreven in Do You Believe in Fairies, Unicorns, or the BMI?; ik heb daar niets aan toe te voegen.
Een belangrijk citaat uit Devlin’s stuk: “The BMI was formulated, by a mathematician, not a medical physician, to provide a simple, easy-to-apply mathematical formula to give a broad, society-level measure of weight issues. It has absolutely no scientific or medical basis. It is based purely on a crude statistical analysis. It measures a general society trend, it does not predict.” Daar is dus geen divergentiestelling aan te pas gekomen.

Een vierkante seconde

Een tip voor een niet-standaard uitstapje in Delft: ga een vierkante seconde bekijken.

Delft heeft een mooie binnenstad maar in de buitenwijken kun je ook aardige dingen zien. Neem tram 1 richting Tanthof, stap uit bij de halte Van der Slootsingel, loop de straat met die naam helemaal uit en ga dan rechtsaf het park Buitenhof in. Op een zacht glooiende helling ligt het, een kunstwerk met de naam Een Vierkante Seconde. Je moet echt de helling op want anders zie je de stenen die het vierkant vormen niet.

Waarom `vierkante seconde’?

Als je nauwkeurig wil aangeven waar je bent dan geef je je coördinaten door met behulp van het systeem dat daar al een paar eeuwen voor gebruikt wordt: lengte- en breedtegraden. Op de aarde zijn (denkbeeldig) twee stelsels lijnen getrokken: van de noord- naar de zuidpool (meridianen), en loodrecht daarop, evenwijdig aan de evenaar dus (parallellen).
De meridiaan die door the Royal Observatory in Greenwich loopt heet de nulmeridiaan; samen met de evenaar vormt hij een soort assenkruis, met de evenaar als x-as en de nulmeridiaan als y-as.

Het snijpunt van de nulmeridiaan en de evenaar is de oorsprong. In plaats van x- en y-coördinaten spreken we van, respectievelijk, lengte en breedte en in plaats van positief of negatief zeggen we ooster- en westerlengte, en noorder- en zuiderbreedte.
De eenheid die gekozen is om lengte en breedte uit te drukken is de graad; dat is natuurlijk omdat alle lijnen (delen van) cirkels zijn. Dat is ook handig omdat de parallellen niet allemaal evan lang zijn: de `parallel’, bijvoorbeeld, aan de noordpool bestaat uit maar één punt.

Beide assen zijn in graden verdeeld. De evenaar in twee keer 180 graden: west en oost, als je de nulmeridiaan doortrekt krijgt je de meridiaan op 180° west en oost. De nulmeridiaan is in twee keer 90° verdeeld, noord en zuid.
Nu is nulmeridiaan van de evenaar tot de noordpool 10.000 km lang (per definitie) en dus is één graad ongeveer 111 km lang. Dat is nog vrij veel en daarom zijn de graden weer in 60 mminuten verdeeld, die 60 is een overblijfsel van de 60-tallige schrijfwijze voor getallen uit het oude Babylon. Een minuut langs de nulmeridiaan is ongeveer 1850 m lang; en dat is nu net de definitie van een zeemijl.
De minuten zijn zelf weer in 60 seconden verdeeld en een seconde langs de nulmeridiaan is dus zo’n 30 m lang.

Langs de parallellen worden de graden, minuten en seconden steeds korter. Als je in Park Buitenhof aankomt en het kunstwerk bekijkt zul je zien dat het er niet als een vierkant van 30 bij 30 meter uitziet. Je kunt aan het kunstwerk Geografische Plaatsbepaling Delft (dat is de officiële naam) zien hoeveel korter een seconde op onze breedte geworden is. Het kunstwerk is namelijk een vierhoek die door twee parallellen en door twee meridianen begrensd is.
Op de foto’s van de vier hoeken kun je zien welke lijnen dat zijn:

  • de meridianen op
    • 04° 20′ 06” O. L. en
    • 04° 20′ 07” O. L.,
  • en de parallelen op
    • 51° 59′ 29” N. B. en
    • 51° 59′ 30” N. B.

Ik ben de hele vierhoek rondgelopen; in de noord-zuidrichting had ik dertig stappen nodig en in de oost-westrichting maar negentien.

Voor de wiskundigen: Welke functie bepaalt de lengte van een seconde langs een parallel? Kloppen mijn gemeten lengten ongeveer?

Andere zaken

In het blad Pythagoras is ook al eens een stukje over de vierkante seconde verschenen. Naar aanleiding hiervan ontdekte ik dat je op moet passen als je met een GPS-apparaat in de hand op zoek gaat naar het kunstwerk. Toen de vierhoek werd gelegd (1970) gebruikte men in Nederland het systeem ED50, sindsdien is het systeem WSG 84 in gebruik genomen. Het verschil tussen die systemen is ongeveer 100 meter; met een apparaat dat op WSG 84 is ingesteld loop je het risico in een van de sloten rond het park terecht te komen. In dit document kun je meer lezen over het omrekenen tussen de twee systemen.

In een video van Ionica Smeets over de vierkante seconde wordt hier voor gewaarschuwd. Naar aanleiding van die video is er een Geocache bij het kunstwerk gemaakt.

Op de Kunstwachtwebsite kun je ook over Geografische Plaatsbepaling lezen. En op de website van een van de makers, Nelis Oosterwijk, kun je wat ontwerpschetsen zien.

En tau rund jorden, II

Dette er andre delen av en oversettelse av en artikkel som ble publisert i November 2004 i Pythagoras (et matematisk tidsskrift for unger). Artikkelen finnes også på Engelsk i Half a Century of Pythagoras, en utvalg av artikler publisert av MAA.

Vi strekker en tau helt tettsittende rund jorden, forlenger det lit og drar de opp til den en helt stram. Hvor høyt må vi dra opp tauen? Kan vi uttrykke høyden i lengden vi spleiset inn?

I går vi så at når vi tar en tau som er en meter langre enn jordens omtrekk og drar tauen strammt ved Nordpolen så skal det høyeste punktet være på 121 meter og lit mer. I dag skal vi lage en enkel formel med radiusen og ekstra lengden i som gir en god approksimasjon av høyden.

En effektiv approksimasjon

Her er tegningen fra i går igjen

Fra Pythagoras sin læresetning lærte vi at



Fra bildet ser vi også at



Dette kan kombineres til denne ligningen



Nå har vi et uttrykk for h som bruker R og α men vi trenger et som bruker ε. Dette må gjøres implisitt fordi α er en løsning av



og der er ingen `pen’ (eller stygg) formel for løsningene.

Som vi så i går er vinkelen α veldi liten (0.006176 radianer). Nå er det slik at α+α3/3 er en veldi bra approksimasjon av tanα. Hvis vi setter dette uttrykket i ligningen så får vi



Også tanα er veldi liten.
Og for x nær 0 har vi √(1+x)≈1+½x; nå kan vi forenkle formelen for h til en approksimasjon



Neste steg er å skrive ut kvadraten



Når vi setter i tallene så får vi Rα2=242.8 m, Rα4=0.009 m og Rα6=3.5×10-7 m. Vi derfor kan trygt kaste fjerde og sjette potensene og så får vi denne approksimasjonen for h:



Lit lengre siden fant vi at



Vi setter det inn i approksimasjonen og får



Nå bruker vi verdien av R og får til slutt



Det flotte med denne formelen er at den gir nesten samme svaret som i går: setter vi inn ε=0.5 så får vi h≈121.4 m igjen.

Oppgav
Sett inn ε=0.005 in formelen vår. Hvor mye forskjeller resultatet fra verdien av h som vi fikk i går?

Exercise
Undersøk hvor bra approksimasjonen √(1+x)≈1+½x er. For eksempel, sammenlign (1+½x)2 med 1+x; for hvilken x er forskjellen liten nok til å bli kastet? Er du enig i hvordan approksimasjonen brukes her?

Bemerkning
Vi kan isolere ε i formelen:



dette gir viktig kvalitativ informasjon: h er omtrent lik en konstant ganger ε2/3.
Hvis du er kjent med Taylorpolynomer kann det være gøy å finne ut hvor stor feilen er (hvilken potens av ε) i denne approksimasjonen.

Did Thanos kill me?

Some of you may have seen Avengers: Infinity War already, some may have not. Via Geek Girl Authority I found this website: www.didthanoskill.me/. There you can check whether you will survive the carnage at the end of the movie.

As is to be expected the decision process is not very sophisticated:

if (randomNumber < 0.5) {
   displayElement.textContent = "You were slain by Thanos, 
                            for the good of the Universe.";
 } else {
   displayElement.textContent = "You were spared by Thanos.";
 }

But, can you escape your fate by reloading the page? Actally, no.
The script first retrieves a cookie:

var randomNumber = getCookie("thanosNumber");

If that number exists it will be used in the decison process, so the random number is generated on your first visit and re-used on each next reload. My `thanosnumber’ is 0.3461087295578963, so I’m a goner.

I also checked whether the process is fair; it is on this page you can read that the random number is in the interval [0,1) (including 0, excluding 1). That means that, even accounting for the finite precision, half the numbers can be expected to be less than ½.

To see why excluding 1 mighyt matter think of a machine with a very low precision, say two binary digits. This means that the random numbers would be chosen from these four: .00, .01, .10, .11 (that is: 0, ¼, ½, ¾,). Clearly your probability of survival would be 2/4, i.e., one half. On the other hand, if 1 were als a possible outcome then your survival probability would be 3/5.

For the population of the Earth and with the precision suggested by my thanosnumber including 1 or not would not make much difference.
Since there are no more that 1010 people and the thanosnumbers have a precisioon of 16 digits the difference in the order of 10-6 person.

Å Bygge Broer

I Abels Tårn på 23. mars hørte jeg et forsøk å forklare hvorfor Robert Langlands fikk tildelt Abelprisen 2018. “Hans program danner broer mellom tallteorien og andre deler av matematikken.” Det ble ikke mye mer diskusjon; det var snakk om `automorfe former’, men bare snakk.

Hvis en ønsker å vite hva Langlands Program handler om så kan enfinne noen innledende artikler på Abelprisens nettsted. I Abels Tårn hører vi også om prisvinneren fra 2016: Andrew Wiles. Wiles sin bevis av Fermats siste theorem er et eksempel på bruk av en bro mellom Tallteorie og Algebraisk Geometri.

Jeg lurte på om det ikke var een liten bro mellom tallteori og geometri (algebraisk eller annerledes) som kunne illustrere hvordan geometri kan hjepe tallteori (eller omvendt).

Her har vi kanskje en, et enkelt spørsmål i talltheorie: fins det to kvadrattall der et er doppelt så stor enn det andre? Det vil si: fins det to naturlige tall, m og n, slik at n2=2×m2?
For dette spørsmålet kan vi bygge en bro til geometrien: vi tegner to kvadrater, et med sidelengde m og et med sidelengde n. og spørsmålet er om vi kan få det til at arealet av det andre kvadratet er to ganger arealet av det første.
Vi kan tegne kvadratene sånn:.

Det er en elementær læresetning at en kan doble arealet av en kvadrat ved å tegne et kvadrat hvilket sidelengde er lik diagonalen in det første kvadratet.
Nå tar vi en rettvinklet trekant med sidelengder m, m og n (halvparten av kvadratet med sidelengder m). Vi danner et punkt z på som deler hypotenusen i to stykker, av lengde m og n-m, og så tegner vi linien gjennom z vinkelrett på hypotenusen og mot siden av trekantet.

Hypotenusen i det nye trekantet er diagonalen in et kvadrat med sidelengde n-m og derfor vet vi at kvadratet av hypotenusen er lik 2(n-m)2. Når vi bruker at n2=2m2: så får vi

2(n-m)2=2n2-4nm+2m2=4m2-4nm+n2=(2m-n)2

Den nye hypotenusen er altså 2m-n lang.

Dette beviser at det er ikke mulig å finne to naturlige tall m og n som i spørsmålet: hvis det fins to slike tall kan vi finne andå to slike tall som er mindre. Men for de naturlige tall vet vi: hvis det fins et tall som har en (ønsket) egenskap fins det et minste tall med denne egenskapen. Så vi kunne ha begynt med det minste tall n slik at det fins et tall m for hvilet vi har n2=2m2 men da er 2m-n et mindre tall med samme egenskapen. Dette motbeviser at en sånn n fins.

Her ser vi, som i beviset til Wiles, at geometrien hjelper å løse et tallteoretisk problem.

Nå er det slik at vårt tallteoretisk problem har en (nogså enkel) tallteoretisk løsning: i kvadraten n2 finner vi et likt antall primfaktorer 2, dobbelt så mange som i n selv. Og i 2 ganger et kvadrat, 2m2, finner vi et odde antall primfaktorer 2, dobbelt så mange som i m selv plus en til. Det betyr at 2m2 er aldri lik n2.

Og mange folk håper at Fermats Siste Teorem har en slik enkel bevis også.

Maple en zo, II

“Waarom makkelijk als het moeilijk kan”, lijkt onze vraagsteller gedacht te hebben.

Eigenlijk is het gebruik van Maple en zo een recht dat je moet verwerven.

Een meer dan reële kans?

Op twitter keek Marc van Oostendorp terug naar een blogpost van hemzelf over het woord `reëel’: Hoe reëel is meer dan reëel?. In dat stuk wordt gesproken van reële kansen en van kansen die meer dan reëel zijn. En toen sloeg mijn hoofd een beetje op hol: wat voor kansen zijn dat nou weer?

In de wiskunde wordt met het begrip `kans’ heel anders omgegaan dan in het dagelijks leven. In deze column van Ionica Smeets word de wiskundige opvatting van `kans nul’ vergeleken met de dagelijkse. In het kort: het wiskundige `kans nul’ betekent niet hetzelfde als `dat gebeurt niet’ maar als we horen dat de morgen de kans op regen nul is gaan we er van uit dat het morgen niet zal regenen.
Dat verschil brengt de professionele kansrekenaars er toe het woord `kans’ maar los te laten en het bijna-synonieme `waarschijnlijkheid’ gebruiken.

Maar goed, omdat die termen `kans’ en `waarschijnlijkheid’ buiten de wiskunde nagenoeg synoniem zijn kan men zich afvragen wat we aanmoeten met `reële kansen’ en `meer dan reële kansen’.

Wat het eerste betreft: `reële kansen’ is een pleonasme. De kans/waarschijnlijkheid van een gebeurtenis is, per definitie, een reëel getal uit het interval [0,1].

Maar nu het tweede, `meer dan reële kansen’. Wat moeten we daar als wiskundigen mee? Je zou kunnen denken een waarschijnlijkheden met waarden buiten de reële getallen. Is dat mogelijk? Zou je complexwaardige kansen kunnen hebben of zelf quaternion-waardige?
Als je naar de Axioma’s van Kolmogoroff kijkt lijkt het niet: de eerste eis is dat P(A)≥0 voor elke gebeurtenis. Aan de andere twee eisen is met complex- of quaternion-waardige kansen wel te voldoen; er is een goed ontwikkelde theorie van maten met waarden in de complexe getallen of in de quaternionen. Met een beetje goede wil kun je in dit geval een kansmaat definiëren als eentje die alleen waarden in de eenheidsbol aanneemt. De vraag is natuurlijk wat je je dan moet voorstellen bij negatieve of een zuiver imaginaire waarschijnlijkheid, maar we kunnen er in ieder geval mee rekenen. En, wie weet, het zou niet de eerste keer zijn dat zulk wiskundig speelgoed een toepassing vindt.

Er is nog een andere manier om kansen `meer dan reëel’ te maken en dat heeft, onder meer, te maken met die `kans nul’ van hierboven. Denk, bijvoorbeeld, aan de uniforme kansverdeling op het interval [0,1]. Deze kansverdeling beschrijft wat er gebeurt als je willekeurig pijltjes in dat interval gooit: de kans dat je het interval [⅓,⅔] raakt is gelijk aan ⅓ en in het algemeen: elk interval (a,b) heeft raakkans b-a. Het gevolg van deze afspraak is dat elk punt raakkans nul heeft. Echter, als je een pijltje in het interval gooit dan raak je een punt, ook al had je kans nul dat punt te raken. Dit is waar het in de column van Ionica Smeets om ging: wiskundig betekent `kans nul’ dus niet hetzelfde als `onmogelijk’.

Wat sommige mensen hierbij ook een beetje stoort is dat kansen niet altijd goed opgeteld kunnen worden: elk punt heeft raakkans nul en als we al die raakkansen optellen krijgen we weer nul, toch? Maar die som zou gelijk moeten zijn aan de kans dat je het interval [0,1] raakt en die is toch gelijk aan 1. Daarnaast is het ook nog zo dat niet elke deelverzameling van [0,1] een welgedefinieerde raakkans heeft. In de praktijk is dat allemaal niet zo erg: het gaat bij de berekeningen vrijwel nooit om individuele punten maar om verzamelingen, en die verzamelingen hebben hebben vaak beschrijvingen waaraan meteen te zien is dat ze een welbepaalde raakkans moeten hebben.

Wat te doen? Je kunt in het model van Solovay gaan werken; daar heeft elke verzameling een welgedefinieerde raakkans. Echter, de optelwet heb je daar nog steeds niet, en die kun je ook niet krijgen zolang je eist dat je raakkansen reële getallen zijn. En hier komen de meer dan reële kansen in beeld.
In dit artikel (ook hier te vinden) ontwikkelden Vieri Benci, Leon Horsten, en Sylvia Wenmackers een waarschijnlijkheidsrekening met waarden in het interval [0,1] van een veel grotere getallenverzameling dan R, maar die er wat elementaire algebra betreft niet van te onderscheiden is. Het onderscheid zit hem in de rijkheid van de verzameling en de mogelijkheid een heleboel oneindige sommen zinvol te kunnen behandelen. De raakkans van een enkel punt van het gewone interval [0,1] is positief maar kleiner dan elk `normaal’ positief reëel getal en dat maakt die kans `meer dan reëel’; ook de verzamelingen die geen welbepaalde raakkans hadden krijgen er nu een, maar ook die kansen zijn `meer dan reëel’.

Moeilijk bewijs(?)

Een paar weken geleden stond de volgende vraag op wisfaq.nl onder de titel Moeilijk bewijs.

Op een lijn zijn elf verschillende punten gegeven: P1,P2, …, P11. Voor elk tweetal punten geldt: de afstand tussen Pp en Pq is ten hoogste 1. Bewijs dat de som van alle (55) afstanden |PpPq| kleiner is dan 30.

Dat klinkt inderdaad moeilijk (55 afstanden niet groter dan 1 bij elkaar optellen en de som onder de 30 houden); tot je een plaatje tekent van alle elf punten van links naar rechts op die lijn. Voor die lijn kun je net zo goed de getallenlijn nemen en dan heb je elf getallen, P1,P2, …, P11 gerangschikt van klein naar groot (teken de situiatie maar even); De afstand tussen Pi en Pj is dan gewoon Pj-Pi als i<j. De situatie blijkt dan wat gunstiger: de grootste onderlinge afstand is P11-P1, de andere zijn kleiner (soms een stuk kleiner).

In groepen verdelen

Zo kun je bijvoorbeeld alle afstanden Pi+1-Pi voor i=1,2,…10 bij elkaar optellen en dat geeft P11-P1; toch mooi tien termen die samen niet meer dan 1 opleveren.

Vervolgens kunnen we alle afstanden Pi+2-Pi optellen, voor i=1,2,…,9. Dat doen we in twee groepen: voor de oneven i en voor de even i. We krijgen respectievelijk (P3-P1) + (P5-P3) + (P7-P5) + (P9-P7) + (P11-P9) = P11-P1 en (P4-P2) + (P6-P4) + (P8-P6) + (P10-P8) = P10-P2. De totale som is dus kleiner dan 2 (kleiner omdat P10-P2<1).

Als je de verschillen Pi+3-Pi gaat optellen, voor i=1,2,…,8, dan ontdek je dat je drie groepjes moet maken, elk met een som kleiner dan 1.

Bij de verschillen Pi+4-Pi krijg je vier groepen met een totale som kleiner dan 4.

Bij de verschillen Pi+5-Pi krijg je vijf groepen met een totale som kleiner dan 5.

Bij de verschillen Pi+6-Pi krijg je ook vijf groepen met een totale som kleiner dan 5: je krijg alleen P7-P1 tot en met P11-P5 omdat 6+6=12.

Dit loopt zo af, je krijg achtereenvolgens sommen die kleiner zijn dan 4, 3, en 2; aan het eind staat nog een keer P11-P1 en die is nioet groter dan 1.

Alles bij elkaar geteld is de totale som dus kleiner dan 1+2+3+4+5+5+4+3+2+1=30.

Kan het beter?

De 30 kan niet verbeterd: door P1 tot en met P6 heel dicht bij 0 te nemen en de rest van de punten heel dicht bij 1 kun je de totale som zo dicht bij 30 krijgen als je maar wilt.

Verder onderzoek

Probeer een formule op te stellen voor de kleinste bovengrens van de som van de ondelinge afstanden bij n punten.

Wat kunnen we zeggen als de punten in het vlak liggen? Alle ondelinge afstanden kleiner dan 1; hoe groot kan de som van die afstanden zijn?

Hello world!

Welcome to TU Weblog. This is your first post. Edit or delete it, then start blogging!

© 2011 TU Delft