Posts in category analyse
Continuïteitsmaximalisatie
Op twitter, via Japka-d. Bouma, een mooi woord gevonden: continuïteitsmaximalisatie. Ik vroeg me meteen af of ik daar wiskundig chocola van kon maken.
Hier is de tweet waar het mee begon.
Dit woord is samen met Scrabble bedacht: 'continuïteitsmaximalisatieprogramma'. https://t.co/ipPPU6WsKo
— Japke-d. Bouma (@Japked) December 9, 2019
Op het eerste gezicht lijkt er aan continuïteit weinig te maximaliseren: een functie is continu of niet en daar is de kous mee af, lijkt het. Maar de situatie waar het in de tweet om gaat wijst in een richting waar de ene continuïteit beter is dan de andere. Het gaat er om een overname van een bedrijf zo goed mogelijk te laten verlopen.
Natuurlijk wil je bij een overname geen plotselinge sprongen zien; dat komt overeen met het wiskundige idee van continuïteit: het traject van de opvolger begint waar dat van de voorganger stopt. Maar dat is niet genoeg; de grafiek van de absolute-waardefunctie laat zien wat in de praktijk wat ongewenst is: een plotselinge verandering van richting.
De trajecten moeten glad aansluiten (`glad’ is eigenlijk een beter woord dan `continu’, gladheidsmaximalisatie dus); de aansluiting moet differentieerbaar verlopen. Maar, een plotse verandering van snelheid is ook niet prettig; dus de snelheid ook maar glad (differentieerbaar) houden dus (continue versnelling). Wat men zich echter niet realiseert is dat de derde afgeleide, de afgeleide van de versnelling dus, ook niet al te veel moet veriëren: die derde afgeleide heet de jerk (de ruk) van een beweging en is veelal de hoofdoorzak van misselijkheid.
Zo kunnen we natuurlijk door blijven gaan en steeds meer gladheid eisen. Dan komt er van maximalisatie niet veel terecht. Maar er is wel een maximum te benoemen. In eerste instantie zou je zeggen dat oneindig vaak differentieerbaar toch wel het beste is wat gehaald kan worden. Er is zo’n mooie overgang: definieer f(x)=0 voor x≤0, en voor x>0 nemen we f(x)=exp(-1/x); een plaatje van de grafiek voor x tussen 0 en 1 op Wolfram Alpha laat zien dat hier inderdaad een zeer gladde overgang bereikt wordt. Deze functie is inderdaad superglad: oneindig vaak differentieerbaar in 0.
Is dat het maximaal haalbare? Nee, onder de supergladde functies zijn er die extra-superglad zijn: de analytische functies; daar is de functie hierboven er niet een van. Analytische functies zijn de echte continuïteitsmaximaliseerders en de meeste functies die mooi lijken zijn het ook: de sinus, de cosinus, de e-macht, de wortel, … allemaal analytisch.
Dikke en dunne verzamelingen
Gisteren hebben we gekeken naar de wiskunde achter het vermoeden van Duffin en Schaeffer. Wat daar niet goed uit de verf kwam waren de noties van `dikke’ en `dunne’ verzamelingen. Daar doen we vandaag wat aan.
Zoals gisteren en in de krant beschreven gaat het vermoeden van Duffin en Schaeffer over benaderingen van irrationale getallen met behulp van breuken. De situatie is als volgt: neem een rij (xn)n van positieve reële getallen en noem een irrationaal getal α goed benaderbaar, volgens de gegeven rij, als er oneindig veel natuurlijke getallen n bestaan met voor elk van die n een breuk t/n met noemer n bestaat zó dat |α-t/n|<xn.
De vraag is dan natuurlijk of er irrationale getallen zijn die goed te benaderen zijn. Gisteren hebben we gezien dat als x_n=n-2 alle irrationale getallen goed te benaderen zijn. Met een beroep op de gisteren ook genoemde Categoriestelling van Baire kunnen we laten zien dat er altijd heel veel goed benaderbare irrationale getallen zijn. Net als gisteren bekijken we voor elke n de intervallen (0,xn), (1/n-xn,1/n+xn) … (1-1/n-xn,1-1/n+xn), (1-xn,1). Hun vereniging noemen we An.
Neem een (klein) interval (a,b) binnen (0,1); dan geldt voor elke n met 1/n<b-a dat An en (a,b) een niet-lege doorsnede hebben (bedenk maar eens waarom dat zo is). Dit betekent dat indien we voor elke n de verzamelingen An, An+1, An+2, … verenigen tot de verzameling On we een verzameling krijgen die met elk intervalletje getallen gemeen heeft. De stelling van Baire garandeert nu dat er heel veel getallen bestaan die tot alle On behoren, en dus tot oneindig veel van de An (denk daar ook maar eens goed over na). Al die getallen zijn dus goed benaderbaar, volgens de gegeven rij.
In topologische zin is het complement van die verzameling goed benaderbare getallen nogal dunnetjes, in het Engels: meagre; de verzameling goed benaderbare getallen is dus, topologisch gesproken, bijna het hele interval (0,1) een dikke verzameling dus.
Het vermoeden van Duffin en Schaeffer ging over een andere notie van dik en dun. Laten we de verzameling goed benaderbare getallen, bij de rij (xn)n, even noteren met G(x). De nu bewezen stelling kijkt naar de (totale) lengte van de intervalletjes die we hierboven gebruikt hebben. Voor elke n is de totale lengte van An gelijk aan 2×n×xn. Als de xn-en te klein zijn zal de verzameling G(x) volgens deze notie als dun aangemerkt worden in die zin dat de kans dat een irrationaal getal goed benaderbaar is gelijk is aan 0.
De stelling van Dimitris Koukoulopoulos en James Maynard spreekt uit dat voor elke rij (xn)n de verzameling G(x) hetzij kans gelijk aan 1 heeft om geraakt te worden, hetzij kans 0; een tussenweg is er niet. Daarnaast geeft de stelling precies aan voor welke rijen kans 1 geldt en voor welke rijen kans 0.
We hebben hier dus twee soorten `dik en dun’ gezien: topologisch en kanstheoretisch. Beide noties worden in de Analyse toegepast om te laten zien dat bepaalde objecten bestaan: als je laat zien dat de verzameling van die dingen `dik’ is is die zeker niet leeg.
Voor topologen is de verzameling goed benaderbare getallen altijd `dik’; voor kansrekenaars is hij soms `dik’ en soms `dun’. Dit klinkt paradoxaal, maar is het niet: het is `gewoon’ een gevolg van de definities. En het illusteert wel treffend de titel van de column die gisteren is aangehaald: ‘De kans is nul’ is niet hetzelfde als ‘dat gaat niet gebeuren’.
Exacte oplossingen
Een veel voorkomende vraag op de wisfaq is: “Hoe los ik … op?” Op de plaats van de puntjes staat dan een vergelijking die maar niet tot een mooie oplossing wil leiden, zoals bijvoorbeeld -x2+4x-3 = sin(x). Het antwoord op de vraag is vaak: “Het kan niet exact, doe maar een numerieke benadering.” Maar wat betekent `exact’ eigenlijk?
Heel veel wiskundesommen komen uiteindelijk neer op het oplossen van een vergelijking, het invullen van een of meer getallen in een of andere uitdrukking, en/of het daarna vereenvoudigen van de uitkomst tot …, tot wat eigenlijk? Tot een compacte overzichtelijke uitdrukking waarvan wellicht ook makkelijk te controleren of het een oplossing van het probleem is. Wat een compacte overzichtelijke uitdrukking is varieert met de tijd. Het begint met natuurlijke getallen; een antwoord als `3′ is duidelijk en je kunt waarschijnlijk natellen of het klopt. Vrij snel komen (positieve) breuken bij het verdelen van dingen (traditioneel taarten) over personen: drie taarten over vijf personen eerlijk verdelen levert iedereen 3/5 taart op. Nog later komen er negatieve getallen bij, meestal uitgelegd als `schuld’.
Dat is allemaal nog redelijk overzichtelijk maar dan wordt het spannender: als je een vierkant met een oppervlakte van 2 m2 wilt maken dan heb je niks aan al die breuken, positief of niet. Om praktische redenen is het wel gewenst de lengte van de zijden van dat vierkant te benoemen, en dat heeft geleid tot een van de eerste afkortingen die je bij de wiskunde leert: √2. Dat getal is echt nieuw, niet te weer te geven als een breuk. Er is zelfs een heel Zebraboekje aan √2 gewijd.
Het interessante is dat na verloop van tijd dat symbool √ heel vertrouwd wordt en dat we het accepteren als ingredient in die `compacte overzichtelijke’ uitdrukkingen. Met de abc-formule als eerste hoogtepunt. Ondanks het feit dat √D niet meer is dan een afkorting van “het positieve reële getal waarvan het kwadraat gelijk is aan D”.
Een andere bekende afkorting is natuurlijk π: de verhouding tussen omtrek en diameter van een cirkel. Ook π is niet als breuk uit te drukken, erger nog: met π is algebraïsch helemaal geen goed garen te spinnen. Maar π komt in zoveel uitkomsten en formules voor dat het onderhand een vertrouwde vriend geworden is.
Op de middelbare school en later stijgt het aantal `vertrouwde vrienden’ snel, via allerlei nieuwe functies als sinus, cosinus, e-macht, logaritme, … Zo is de lengte van het stukje van de parabool met vergelijking y=x2 tussen de punten (0,0) en (1,1) gelijk aan
en niemand knippert met de ogen. Als je de echte betekenis van die uitdrukking wilt achterhalen zul je vrij diep de wiskunde in moeten duiken want hij hangt van afkortingen aan elkaar.
Even terug naar de vergelijking aan het begin. Heeft die vergelijking wel oplossingen? Ja, daar kun je je van overtuigen door de grafieken van het linker- en rechterlid even te schetsen; je ziet dan dat er een intervalletje is waarop -x2+4x-3 groter is dan sin(x) en de eindpunten van dat intervalletje zijn de oplossingen van de vergelijking. Is er een formule voor de linkeroplossing? Ja:
deze komt direct uit het bewijs van de tussenwaardestelling. Die stelling zegt dat dat minimum bestaat, noem het even a, en dat a daadwerkelijk aan de vergelijking voldoet. Voor wie dit geen mooie formule vindt, bedenk dan dat √2 niets meer is dan een afkorting voor
hetwelk volgens diezelfde tussenwaardestelling bestaat.
Met a en √2 is goed te werken; je kunt ze in allerlei uitdrukkingen stoppen en die weer proberen te vereenvoudigen. In het geval van √2 vervang je telkens (√2)2 door 2; probeer maar eens aan te tonen dat
Wat a betreft: telkens als je sin(a) ziet kun je daar -a2+4a-3 van maken (of omgekeerd); dat gebeurt niet zo vaak en daarom zal a lang niet zo vertrouwd worden als √2 dat al eeuwen is.
Los op. Of toch niet?
Een aardige vraag op de wisfaq die laat zien dat een opgave goed lezen ook belangrijk is.
De vraagsteller had moeite met deze vraag:
“Toon aan dat er een reëel getal t bestaat zodat voor de functie g(x)=(x-a)2(x-b)2+x geldt dat g(t)=(a+b)/2.”
Het oplossen van de vergelijking (t-a)2(t-b)2+t=(a+b)/2 lukte niet helemaal.
Maar hoogstwaarschijnlijk was het helemaal niet de bedoeling die vergelijking op te lossen: de opgave was namelijk “toon aan dat zo’n t bestaat”, niet “bepaal zo’n t”. Dat de vraagsteller een student van een universiteit is suggereert dat het hiet om een toepassing van de Tussenwaardestelling gaat. Die stelling spreekt voor velen bijna voor zichzelf maar een van de eersten, zo niet de eerste, die doorhad dat er iets te bewijzen was was Bernard Bolzano. In een artikel met de welluidende titel Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes daß zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzetes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege legde hij uit dat de volgende stelling wel degelijk een bewijs nodig had:
Laat f en φ twee continue functies zijn en a en b twee reële getallen zo dat f(a)<φ(a) en f(b)>φ(b); dan ligt er een getal c tussen a en b met f(c)=φ(c)
In een tijd dat `continu’ meetkundig werd geïnterpreteerd als `de grafiek is een ononderbroken kromme’ leek het duidelijk dat de grafieken van f en φ elkaar tussen a en b zouden moeten snijden. Bolzano waste zijn tijdgenoten grondig de oren over deze misvatting; hij wilde een echt analytisch bewijs en geen `kijk maar, er is een snijpunt’. Bolzano had namelijk ook al door dat niet elke continue functie een makkelijk te tekenen grafiek had: hij heeft ook een van de eerste continue nergens differentieerbare functies geconstrueerd. In het artikel van Bolzano vinden we een analytische definitie van continuïteit en een bewijs van de tussenwaardestelling dat zo in de huidige boeken opgenomen kan worden (en eigenlijk opgenomen is).
Met deze stelling in de hand is de opgave zo opgelost: voor de functie van de vraag geldt g(a)=a en g(b)=b; het getal gemiddelde (a+b)/2 van a en b ligt tussen a en b, dus toepassing van Bolzano’s stelling met g en de constante functie ψ met waarde (a+b)/2 levert het bestaan van een t tussen a en b met g(t)=(a+b)/2.
Overigens kan de vergelijking wel opgelost worden: er is een oplosformule voor de vierdegraadsvergelijking maar die staat vrijwel nergens op het programma van een analysecursus.
Recent Comments