Continuïteitsmaximalisatie

Op twitter, via Japka-d. Bouma, een mooi woord gevonden: continuïteitsmaximalisatie. Ik vroeg me meteen af of ik daar wiskundig chocola van kon maken.

Hier is de tweet waar het mee begon.

Op het eerste gezicht lijkt er aan continuïteit weinig te maximaliseren: een functie is continu of niet en daar is de kous mee af, lijkt het. Maar de situatie waar het in de tweet om gaat wijst in een richting waar de ene continuïteit beter is dan de andere. Het gaat er om een overname van een bedrijf zo goed mogelijk te laten verlopen.

Natuurlijk wil je bij een overname geen plotselinge sprongen zien; dat komt overeen met het wiskundige idee van continuïteit: het traject van de opvolger begint waar dat van de voorganger stopt. Maar dat is niet genoeg; de grafiek van de absolute-waardefunctie laat zien wat in de praktijk wat ongewenst is: een plotselinge verandering van richting.

De trajecten moeten glad aansluiten (`glad’ is eigenlijk een beter woord dan `continu’, gladheidsmaximalisatie dus); de aansluiting moet differentieerbaar verlopen. Maar, een plotse verandering van snelheid is ook niet prettig; dus de snelheid ook maar glad (differentieerbaar) houden dus (continue versnelling). Wat men zich echter niet realiseert is dat de derde afgeleide, de afgeleide van de versnelling dus, ook niet al te veel moet veriëren: die derde afgeleide heet de jerk (de ruk) van een beweging en is veelal de hoofdoorzak van misselijkheid.

Zo kunnen we natuurlijk door blijven gaan en steeds meer gladheid eisen. Dan komt er van maximalisatie niet veel terecht. Maar er is wel een maximum te benoemen. In eerste instantie zou je zeggen dat oneindig vaak differentieerbaar toch wel het beste is wat gehaald kan worden. Er is zo’n mooie overgang: definieer f(x)=0 voor x≤0, en voor x>0 nemen we f(x)=exp(-1/x); een plaatje van de grafiek voor x tussen 0 en 1 op Wolfram Alpha laat zien dat hier inderdaad een zeer gladde overgang bereikt wordt. Deze functie is inderdaad superglad: oneindig vaak differentieerbaar in 0.

Is dat het maximaal haalbare? Nee, onder de supergladde functies zijn er die extra-superglad zijn: de analytische functies; daar is de functie hierboven er niet een van. Analytische functies zijn de echte continuïteitsmaximaliseerders en de meeste functies die mooi lijken zijn het ook: de sinus, de cosinus, de e-macht, de wortel, … allemaal analytisch.

Be Sociable, Share!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

¬© 2011 TU Delft