Dikke en dunne verzamelingen
Gisteren hebben we gekeken naar de wiskunde achter het vermoeden van Duffin en Schaeffer. Wat daar niet goed uit de verf kwam waren de noties van `dikke’ en `dunne’ verzamelingen. Daar doen we vandaag wat aan.
Zoals gisteren en in de krant beschreven gaat het vermoeden van Duffin en Schaeffer over benaderingen van irrationale getallen met behulp van breuken. De situatie is als volgt: neem een rij (xn)n van positieve reële getallen en noem een irrationaal getal α goed benaderbaar, volgens de gegeven rij, als er oneindig veel natuurlijke getallen n bestaan met voor elk van die n een breuk t/n met noemer n bestaat zó dat |α-t/n|<xn.
De vraag is dan natuurlijk of er irrationale getallen zijn die goed te benaderen zijn. Gisteren hebben we gezien dat als x_n=n-2 alle irrationale getallen goed te benaderen zijn. Met een beroep op de gisteren ook genoemde Categoriestelling van Baire kunnen we laten zien dat er altijd heel veel goed benaderbare irrationale getallen zijn. Net als gisteren bekijken we voor elke n de intervallen (0,xn), (1/n-xn,1/n+xn) … (1-1/n-xn,1-1/n+xn), (1-xn,1). Hun vereniging noemen we An.
Neem een (klein) interval (a,b) binnen (0,1); dan geldt voor elke n met 1/n<b-a dat An en (a,b) een niet-lege doorsnede hebben (bedenk maar eens waarom dat zo is). Dit betekent dat indien we voor elke n de verzamelingen An, An+1, An+2, … verenigen tot de verzameling On we een verzameling krijgen die met elk intervalletje getallen gemeen heeft. De stelling van Baire garandeert nu dat er heel veel getallen bestaan die tot alle On behoren, en dus tot oneindig veel van de An (denk daar ook maar eens goed over na). Al die getallen zijn dus goed benaderbaar, volgens de gegeven rij.
In topologische zin is het complement van die verzameling goed benaderbare getallen nogal dunnetjes, in het Engels: meagre; de verzameling goed benaderbare getallen is dus, topologisch gesproken, bijna het hele interval (0,1) een dikke verzameling dus.
Het vermoeden van Duffin en Schaeffer ging over een andere notie van dik en dun. Laten we de verzameling goed benaderbare getallen, bij de rij (xn)n, even noteren met G(x). De nu bewezen stelling kijkt naar de (totale) lengte van de intervalletjes die we hierboven gebruikt hebben. Voor elke n is de totale lengte van An gelijk aan 2×n×xn. Als de xn-en te klein zijn zal de verzameling G(x) volgens deze notie als dun aangemerkt worden in die zin dat de kans dat een irrationaal getal goed benaderbaar is gelijk is aan 0.
De stelling van Dimitris Koukoulopoulos en James Maynard spreekt uit dat voor elke rij (xn)n de verzameling G(x) hetzij kans gelijk aan 1 heeft om geraakt te worden, hetzij kans 0; een tussenweg is er niet. Daarnaast geeft de stelling precies aan voor welke rijen kans 1 geldt en voor welke rijen kans 0.
We hebben hier dus twee soorten `dik en dun’ gezien: topologisch en kanstheoretisch. Beide noties worden in de Analyse toegepast om te laten zien dat bepaalde objecten bestaan: als je laat zien dat de verzameling van die dingen `dik’ is is die zeker niet leeg.
Voor topologen is de verzameling goed benaderbare getallen altijd `dik’; voor kansrekenaars is hij soms `dik’ en soms `dun’. Dit klinkt paradoxaal, maar is het niet: het is `gewoon’ een gevolg van de definities. En het illusteert wel treffend de titel van de column die gisteren is aangehaald: ‘De kans is nul’ is niet hetzelfde als ‘dat gaat niet gebeuren’.
Recent Comments