KP Hart
Eindexamen wiskunde B vwo 2021-06-18
Afgelopen vrijdag was de tweede zitting wiskunde B voor het vwo. De opgaven zijn hier te vinden. Ik heb de opgaven gemaakt en van commentaar voorzien; er viel me eigenlijk niet veel op.
Eindexamens wiskunde A en B, havo, 2021-05-26
Gisteren waren de eindexamens wiskunde A en wiskunde B van de havo (opgaven onder de links). Ik heb de opgaven bekeken en ik wil hier wat commentaar leveren.
Wiskunde A: twaalf bladzijden tekst met 24 vragen. In voorgaande jaren heb ik het examen wel eens gemaakt en de individuele vragen van commentaar voorzien maar daar heb ik nu geen tijd genoeg voor. En ik moet zeggen: al lezende verging mij de lust de sommen te maken; heel veel tekst met vragen die vaak neerkomen op, na enige reflectie, indrukken van de juiste knoppen op een rekenmachine. Er waren uitzonderingen: vraag 16 vraagt welk plaatje van een kansverdeling hoort bij “hoog gemiddelde, lage mediaan”; vraag 22 wil een rechtvaardiging zien van coefficienten in een, op het eerste gezicht, nogal rare vergelijking .
Op de eerste bladzijde moest ik even slikken: daar werd gesproken over “tweemaal zo dichtbij” en “hoeveel keer zo dichtbij” bij een verhaal over het testen van het gezichtsvermogen. Bij mijn weten is ‘dichbijheid’ geen SI-eenheid en ik vind het verdubbelen van dichtbijheid nogal dubbelzinnig. Op dit blog heb ik het ook al eens over ‘twee keer zo langzaam‘ gehad, wat hetzelfde zou moeten betekenen als ‘de halft langzamer’.
Wiskunde B: twaalf bladzijden tekst met 17 vragen (niet alle bladzijden waren geheel gevuld). Een mix van ‘echte’ wiskundevragen en wat stukken met meer tekst.
De ‘echte’ vragen gingen over functies, cirkels en lijnen, sinusoiden, … Het zag er, voor mij, niet moeilijk uit. Een enkele vraag was wel er makkelijk, vraag 7 was zo voorgekauwd dat alleen nog u3=64 opgelost moest worden.
Er waren twee vragen met tekst: een paginalang verhaal over roeimachines leidde tot twee aardige vragen over driehoeken, en aan het eind twee vragen over hardlooptijden waar de grootste klus leek te zijn het opstellen van de juiste vergelijkingen.
Eindexamen wiskunde A vwo 2021-05-17
Ik heb naast het examen wiskunde B nu ook het examen Wiskunde A gemaakt en van commentaar voorzien.
De opgaven staan op examenblad.nl en mijn uitwerkingen staan op deze plek.
In mijn uitwerkingen staan opmerkingen over de individuele opgaven. Ik wil het hier nog even over het examen als geheel hebben. Er was ontzettend veel tekst en veel van die tekst deed er niet toe. Een extreem voorbeeld was de laatste opgave: twee a4-tjes tekst met aan het eind niet veel meer dan een rekensom. Ik loop het examen even deel voor deel door.
Linkshandigheid en ronde getallen
Drie pagina’s met vijf vragen geïnspireerd(?) door een onderzoek uit 2013 dat zou hebben aangetoond/bevestigd dat linkshandige mensen vaker ronde getallen zouden noemen bij vragen naar aantallen. De rondheid van getallen zou volgens de formule van Sigurd bepaald zijn.
Ik dacht dat dit uit de duim gezogen was maar het onderzoek heeft echt plaatsgevonden; lees erover in PLOS One. En Bengt Sigurd was een Zweedse taalkundige die in 1988 een artikel over Round Numbers publiceerde.
De extra tekst wekt hoge verwachtingen maar de uiteindelijke opgaven zijn veelal niet echt moeilijk.
Draaiend huis
Na een lege pagina gaan we naar Tilburg, het draaiende huis van John Körmeling. Dat huis is aanleiding tot een vier vragen over roterende objecten en een sinusfunctie.
Mathematical Bridge
Een brug in Cambridge geeft ons drie vragen over een cirkel en een raaklijn daar aan.
The International
Goed voor vijf vragen. Het gaat over prijzengelden en teamsamenstellingen by on-line gaming: E-sports. Drieënhalve pagina tekst voor vijf korte vragen. Wel een mix: exponentiële groei, wat combinatoriek, en functieonderzoek. Maar de wiskundige inhoud had met veel minder omhaal gevraagd kunnen worden. Op twitter werd al een poging gedaan.
Hier een poging. De inleiding van de vraag met onderaan mijn iets kortere versie ervan. pic.twitter.com/czw6hTod8g
— Casper Hulshof 👻 (@CasperHuls) May 19, 2021
Huurprijzen in New York
Drie vragen: twee over exponentiële groei en een grafiek-leesvraag.
Inkomensongelijkheid
Twee volle bladzijden met aan het eind één rekensom. Ik had eerst niet door dat de vraag ging over het verschil van twee soorten inkomensverschillen. Er was één symbool, S, voor een inkomensverschil en de vraag had het over “het verschil tussen de S bij het secundaire inkomen en die bij het primair inkomen”.
En toch …
Het is makkelijk grappen maken (of klagen) over dit soort examens met lappen tekst waar de sommen soms aan de haren bijgesleept lijken. Maar het is een belangrijke vaardigheid: uit een lap tekst de juiste dingen halen om verder mee te werken. De vraag is wel of je dat op deze manier op een moment met allerlei extra spanning moet gaan zitten toetsen.
wiskunde vmbo GL en TL 2021
Op twitter werd ik gevraagd ook eens naar het examen uit de titel te kijken. Dat heb ik gedaan.
De opgaven zijn weer op examenblad.nl te vinden. Mijn uitwerkingen en commentaar staan op deze plek.
Ik heb geen ervaring met wiskunde op het vmbo, dus ik zag eigenlijk voor het eerst zo’n examen. Wat getest werd was een mix van elementaire rekenvaardigheden (soms was optellen/aftrekken/vermenigvuldigen/delen genoeg) en wat moeilijker zaken zoals goniometrie en meetkunde, en werken met exponentiele zaken. Allemaal dingen waarvan je zou willen dat iedereen wat kaas van gegeten heeft.
Waar ik niet helemaal achter kwam is hoe de sommen gedaan zouden moeten worden; het correctievoorschrift was daarvoor te summier. Mijn oplossingen zijn waarschijnlijk niet standaard.
Eindexamen wiskunde B vwo 2021-5-17
Het eindexamen wiskunde B (vwo) werd gisteren afgenomen. De opgaven te vinden op examenblad.nl
Ik heb het examen gemaakt en van opmerkingen voorzien de uitwerking is te vinden op mijn website. Het leek mij goed te doen.
Hogere Machten
Gisteren bekeken we een weergave in woorden van een kansberekening in een column van Maarten Keulemans. Vandaag kijken we even naar die berekening zelf en hoe je snel iets over de 5000ste macht van een breuk als 9999/10000 kunt zeggen.
Even ter herinnering:
En het protest op De Dam? Misschien had men gewoon geluk, berekende epidemioloog Frits Rosendaal (LUMC). ‘De kans om corona te hebben, was op dat moment klein, ongeveer een op tienduizend’, stelt Rosendaal. ‘Dat maakt de kans dat van de 5.000 aanwezigen er een of meer besmettelijk waren, op dat moment 39 procent: 1 min 9.999 gedeeld door 10.000, tot de macht 5.000. Vandaar dat er niks gebeurd is.’
Gisteren hebben we gezien dat de te berekenen kans er zo uit moet zien:
Nu kun je die macht in een rekenmachientje stoppen en als dat goed geprogrammeerd is krijg je ongeveer 0,6065, en dat geeft inderdaad, afgerond, een kans van 39 procent.
Met de juiste formules kun je bijna uit het hoofd een goede onderschatting van de macht maken, en daarmee een overschatting van die kans. De eerste formule is een ongelijkheid:
Deze ongelijkheid heeft een naam: De Ongelijkheid van Bernoulli, deze geldt voor alle x-en groter dan -1 (en ongelijk aan 0), en alle nauurlijke getallen. Als we 9999/10000 schrijven als 1-1/10000 kunnen we x=-1/10000 nemen, en n=5000, met als resultaat
Zonder al te veel moeite zien we dat de kans in ieder geval kleiner dan ½ was. Voor dit soort schattingen is de Ongelijkheid van Bernoulli een mooi stuk gereedschap om bij de hand te hebben.
Wat scherper
Kan het beter? Ja natuurlijk. Wat extra kennis over over de rij (1-1/n)n vertelt ons dat
en daaruit vinden we dan (met een relatieve fout van niet meer dan 0,0001):
Hierin is e het grondtal van de natuurlijke logaritme.
Onze macht is dan ongeveer de wortel uit 1/e; en daar hebben we een reeks voor die iedere eerstejaars wiskundestudent leert:
En de eerste paar termen geven ons een antwoord dat al heel dicht bij het resultaat van het rekenmachientje ligt.
Binomium
Voor degenen die het Binomium van Newton kennen (en beheersen): schrijf de eerste paar termen van de uitgewerkte macht maar eens op en vergelijk met de som voor 1/√e.
Spreken met haakjes
In een column van Maarten Keulemans in de Volkskrant werd aan het eind even snel aangegeven hoe groot de kans was dat er bij de Black-Live-Matter demonstratie op 2 juni iemand was die met corona besmet was. Aan het eind gebeurde iets dat mij op het verkeerde been zette.
Daar stond namelijk dit
En het protest op De Dam? Misschien had men gewoon geluk, berekende epidemioloog Frits Rosendaal (LUMC). ‘De kans om corona te hebben, was op dat moment klein, ongeveer een op tienduizend’, stelt Rosendaal. ‘Dat maakt de kans dat van de 5.000 aanwezigen er een of meer besmettelijk waren, op dat moment 39 procent: 1 min 9.999 gedeeld door 10.000, tot de macht 5.000. Vandaar dat er niks gebeurd is.’
Ik heb de zinsnede waar ik over struikelde even rood gemaakt. Het gaat mij om die komma.
Voor de komma staat dus “1 min 9.999 gedeeld door 10.000” en na de komma “tot de macht 5.000”. Die komma had voor mij de functie van haakjes, en met Mijnheer Van Dalen aan mij zijde las ik het gedeelte ervoor als
en met de komma als haakjes las ik
en daar staat gewoon 0,00015.000 en dat is 10-20.000, veel kleiner dan 0,39 dus.
Dat was niet de bedoeling. De bedoeling was dat de haakjes heel anders stonden, namelijk zo:
Dat is nog lastig in zo’n snelle zin te formuleren; als ik dit op college zou doen zou ik het natuurlijk op het bord schrijven maar soms spreek ik het uit voor ik het opschrijf. Ik zou er dit van maken: “1 min de 5000ste macht van: 9999 gedeeld door 10000”. En bij die “9999 gedeeld door 10000” zou ik de haakjes met mijn armen uitbeelden.
Morgen zullen we even naar die 5000ste macht kijken: hoe kun je snel zien dat hij groter dan een half is? En dus die kans kleiner dan een half?
Het laatste cijfer
Op twitter werd gevraagd naar het laatste cijfer van het getal van Graham. Grappig genoeg heeft dat een redelijk eenvoudig antwoord.
In deze coronatijden krijgen ouders vragen van hun kinderen die deze meestal aan de onderwijzer(es) vragen, zoals
waarom eindigt dat op een 7, en niet op een 9 of een 0? Daar hield onze lokale kennis op, dus hopelijk weet jij raad @ionicasmeets ?
— Mirjam070 (@MvL070) April 5, 2020
Nu is het getal van Graham het resultaat van een ongelooflijk aantal malen machten van 3 nemen, in een toren van 3-en. Het resulterende getal is nog groter. Maar hoe zou je het laatste cijfer van dat getal kunnen bepalen? Dat is eenvoudiger dan het lijkt. We doen het in stappen.
Om te beginnen het getal is een macht van 3 en als we de eerste paar machten van 3 opschrijven, en alleen het laatste cijfer noteren vinden we 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, … Dat dit zich zo blijft herhalen wordt duidelijk als je je realiseert dat het laatste cijfer van 3×n alleen van het laatste cijfer van n afhangt.
Welke van die vier cijfers is het nu? Welnu de exponent van het getal is weer een macht van drie en dus oneven. Dat betekent dat we alleen een 3 of een 7 als mogelijkheid overhouden. Als we van die exponent de rest kunnen vinden bij deling door 4 weten we welk van de twee het is.
Schrijf die resten maar op: 31 heeft rest 3; 32 heeft rest 1; 33 heeft rest 3; 34 heeft rest 1; … het patroon wordt duidelijk: bij oneven exponenten is het 1 en bij oneven exponenten is het 3.
Maar we hebben een toren van drieën, dus de exponent van de exponent is oneven en het eindcijfer is gelijk aan 7.
Iets geavanceerder
Als je hebt leren rekenen modulo getallen (`klokrekenen’) gaat het sneller.
Onze vondst van periode 4 vind je door te zeggen 31=3,
32=9, 33=27=7 modulo 10, 34=3×7=21=1 modulo 10 en zodra we 1 hebben gevonden is duidelijk dat we de periode hebben.
Dan moeten we modulo 4 rekenen om te weten of we 3 of 7 krijgen, maar 3=-1 modulo 4, dus 3k=(-1)k modulo 4 en dan is duidelijk wat we krijgen bij een oneven exponent.
Opgave
Probeer zelf de laatste twee cijfers van het getal van Graham te bepalen. Het duurt iets langer maar met een beetje volhouden kom je er wel.
De fundamenten (ahem) van de astrologie
Er stak vandaag op twitter een stormpje op over een artikel in NRC over de populariteit van astrologie onder hoogopgeleiden. De krant had meer moeten benadrukken dat astrologie gewoon onzin is en dat er bij die desbetreffende hoogopgeleiden een steekje los is. Ik zou graag gezien hebben dat de wetenschapsbijlage een stuk geplaatst had over andere aspecten van de astrologie: onder andere de nogal zwakke fundamenten onder de oorspronkelijke dierenriem.
Wie een boek (of website) over de geschiedenis van de wiskunde en natuurwetenschappen leest komt er snel achter dat astronomie en astrologie zich oorspronkelijk gezamenlijk ontwikkelden. De Wikipediapagina “Astrology and Astronomy” biedt voldoende startpunten voor een ontdekkingstocht. In het kort: de stand van de sterren had praktisch belang voor plaatsbepaling, tijdsmeting en voorspellingen van hemelverschijnselen als zons- en maansverduisteringen. Waarschijnlijk door de misvatting Post Hoc Ergo Propter Hoc gebruikte men de stand van de sterren ook voor andere voorspellingen. Evengoed is de astrologie mede de oorzaak van de ontwikkeling van grote delen van de klassieke wiskunde.
De fundamenten
In mijn achterhoofd zat nog een herinnering aan een stuk dat ik gelezen had waarin verteld werd dat de dierenriem sinds de Babyloniërs hem hadden gemaakt behoorlijk opgeschoven was.
Met wat zoekwerk vond ik op de site van stylist.co.uk een vermakelijk artikel dat onder verwijzing naar een pagina van NASA uitlegt dat onze westerse sterrebeelden voor geen meter kloppen met wat er aan de hemel te zien is.
Samengevat:
- de Babyloniërs trokken een rechte lijn vanuit de aarde door de zon en bekeken telkens door welk sterrebeeld die lijn ging. Maar in plaats van netjes de tijden dat de sterrebeelden gesneden werden aan te houden verdeelde men de cirkel in twaalf nette segmenten van 30 graden elk. Niet alleen werd er dus behoorlijk gesmokkeld, er werd zelfs een sterrebeeld weggemoffeld: Ophiuchus.
- door de verandering van de stand van de aardas zijn de sterrebeelden een stuk opgeschoven; de data die we gebruiken om sterrebeelden aan personen toe te kennen kloppen niet meer met wat echt boven ons te zien is.
Op de pagina van stylist.co.uk staat een handig tabelletje waarop te zien is hoe mis het allemaal is: Kreeft eindigt niet op 22 juli maar begint op 20 juli en eindigt op 10 augustus; en Schorpioen duurt eigenlijk maar een week (en begint pas een dag nadat het officieel geëindigd is).
Continuïteitsmaximalisatie
Op twitter, via Japka-d. Bouma, een mooi woord gevonden: continuïteitsmaximalisatie. Ik vroeg me meteen af of ik daar wiskundig chocola van kon maken.
Hier is de tweet waar het mee begon.
Dit woord is samen met Scrabble bedacht: 'continuïteitsmaximalisatieprogramma'. https://t.co/ipPPU6WsKo
— Japke-d. Bouma (@Japked) December 9, 2019
Op het eerste gezicht lijkt er aan continuïteit weinig te maximaliseren: een functie is continu of niet en daar is de kous mee af, lijkt het. Maar de situatie waar het in de tweet om gaat wijst in een richting waar de ene continuïteit beter is dan de andere. Het gaat er om een overname van een bedrijf zo goed mogelijk te laten verlopen.
Natuurlijk wil je bij een overname geen plotselinge sprongen zien; dat komt overeen met het wiskundige idee van continuïteit: het traject van de opvolger begint waar dat van de voorganger stopt. Maar dat is niet genoeg; de grafiek van de absolute-waardefunctie laat zien wat in de praktijk wat ongewenst is: een plotselinge verandering van richting.
De trajecten moeten glad aansluiten (`glad’ is eigenlijk een beter woord dan `continu’, gladheidsmaximalisatie dus); de aansluiting moet differentieerbaar verlopen. Maar, een plotse verandering van snelheid is ook niet prettig; dus de snelheid ook maar glad (differentieerbaar) houden dus (continue versnelling). Wat men zich echter niet realiseert is dat de derde afgeleide, de afgeleide van de versnelling dus, ook niet al te veel moet veriëren: die derde afgeleide heet de jerk (de ruk) van een beweging en is veelal de hoofdoorzak van misselijkheid.
Zo kunnen we natuurlijk door blijven gaan en steeds meer gladheid eisen. Dan komt er van maximalisatie niet veel terecht. Maar er is wel een maximum te benoemen. In eerste instantie zou je zeggen dat oneindig vaak differentieerbaar toch wel het beste is wat gehaald kan worden. Er is zo’n mooie overgang: definieer f(x)=0 voor x≤0, en voor x>0 nemen we f(x)=exp(-1/x); een plaatje van de grafiek voor x tussen 0 en 1 op Wolfram Alpha laat zien dat hier inderdaad een zeer gladde overgang bereikt wordt. Deze functie is inderdaad superglad: oneindig vaak differentieerbaar in 0.
Is dat het maximaal haalbare? Nee, onder de supergladde functies zijn er die extra-superglad zijn: de analytische functies; daar is de functie hierboven er niet een van. Analytische functies zijn de echte continuïteitsmaximaliseerders en de meeste functies die mooi lijken zijn het ook: de sinus, de cosinus, de e-macht, de wortel, … allemaal analytisch.
Recent Comments