KP Hart

KP's ramblings

Perforaties en definities

Op Facebook, in de groep Leraar Wiskunde, kwam een vraag langs die een mooi excuus oplevert voor een wat algemenere beschouwing over definities.

Perforaties

De vraag ging over perforaties in grafieken van functies. Een perforatie is een gat in de grafiek dat gedicht kan worden op zo’n manier dat de functie continu wordt in dat punt. Dit was de informele definitie.

De formele definitie werd in de vraag uit een leerboek geciteerd: de grafiek van f heeft een perforatie in (a,b) als f(a) niet bestaat en als de limiet van f(x) voor x nadert tot a gelijk is aan b. Verder kwam een voorbeeld uit het boek ter sprake waarin duidelijk aan deze definitie werd voldaan. Einde verhaal zou je zeggen. Ware het niet dat de vraagsteller vond dat er `gevoelsmatig’ meer aan de hand zou moeten zijn. Ik heb het voorbeeld nagetekend.

De functie is links en rechts van 2 door verschillende formules gegeven en f(2) is expliciet niet gedefinieerd. Aan de eerste eis is voldaan: f(2) bestaat niet. Verder zijn linker- en rechterlimiet snel bepaald, ze zijn gelijk aan 2. Daar is de tweede eis: de limiet is gelijk aan 2. We hebben een perforatie in (2,2). De vraagsteller vond (`gevoelsmatig’) dat eigenlijk de linker- en rechterlimieten van de afgeleide ook aan elkaar gelijk zouden moeten zijn.

Definities

De discussie onder de vraag ging eigenlijk meer over wat een perforatie zou moeten zijn in plaats van wat het eigenlijk is. Wat aan het geciteerde boek valt te prijzen is dat er een definitie gegeven is. En die definitie is een minimale exacte beschrijving van: “er zijn een gat in de grafiek dat bij opvulling de functie in dat punt continu maakt”. De eis dat f(a) niet bestaat is de vertaling van “er is een gat” en de eis dat de limiet bestaat vertaalt “bij opvulling wordt de functie continu in dat punt”.
In een paar andere bronnen vond ik niet meer dan een definitie door voorbeeld: “als wat hier gebeurt elders ook gebeurt spreken we van een perforatie”.

Het voordeel van de definitie uit het boek is dat deze kort en krachtig is en daardoor ook zonder omhaal te verifiëren. In de discussie op facebook kwamen wel bezwaren naar voren maar die waren denk ik ingegeven door non-definities als die uit de andere bronnen. In de voorbeelden was vaak meer aan de hand: de functies was bijvoorbeeld een rationale functie waarin de kandidaat-perforaties onder de nulpunten van de noemer gezocht werden en door gemenschappelijke factoren in teller en noemer geïdentificeerd konden worden. En `eigenlijk’ zouden alle perforaties er zo uit moeten zien.

Maar de kracht van de meeste wiskundige definities is juist het kernachtige ervan. Bolzano had een definitie van continuïteit die heel dicht bij de huidige kwam en die is met ε en δ en al afkomstig van Weierstrass. Die definitie bleek echt het wezen van de continuïteit te vangen: hij geeft ons de Tussenwaardestelling (van Bolzano) en de het bestaan van extremen op gesloten intervallen (Weierstrass).

De definitie laat ook schijnbare uitwassen toe met als de mooiste voorbeelden (voor mij) de nergens differentieerbare functies van Weierstrass en Peano’s vlakvullende kromme. Hermite moest er niets van hebben, zoals hij aan Stieltjes schreef: “Je me détourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions continues qui n’ont point de dérivées …”.

De moraal: de taak van een definitie is de kern van de zaak samen te vatten. Dat doet de definitie van perforatie prima, en met niet meer dan echt nodig is.

Eindexamen wiskunde B, vwo, 2024-06-24

Het examen zelf is te vinden op examenblad.nl. Hier zijn mijn oplossingen en opmerkingen. Ik vond sommige formuleringen wat omslachtig. In plaats van “Los f(x)=2 op” bijvoorbeeld: “De grafiek van f snijdt de lijn met vergelijking y=2 in vier punten. Bereken de x-coördinaten van de snijpunten.” De opgaven waren niet echt moeilijk. Opgave 6 kon exact, maar dat zou wel veel werk opleveren …

Eindexamen wiskunde B, vwo, 2024-05-23

Het examen zelf is te vinden op examenblad.nl. Hier zijn mijn oplossingen en opmerkingen. Er waren flauwe en wat interessantere sommen. Ik vond sommige verhaaltjessommen hier en daar wel wat wollig. De verhalen verhulden opgaven die in een of twee regels te formuleren waren.

Eindexamen wiskunde B, havo, 16-05-2024

Hier is mijn uitwerking, met commentaar.
Het examen zelf is het vinden op examenblad.nl.

Eindexamen wiskunde B, havo, 2023-06-27

Ik heb het examen weer gemaakt en becommentarieerd.
De eerste vier sommen, over zwangerschapsduur, vond ik ongeloofwaardig: parameters met drie tot vijf cijfers achter de komma suggereren een precisie die niet te halen is. Maar rekenmachientjes storen zich daar niet aan.
Voor de rest was het een redelijke afwisseling van exact werken en benaderen met behulp van rekenmachientjes.
De opgaven staan op examenblad.nl en hier zijn mijn uitwerkingen en opmerkingen.

Eindexamen wiskunde B, vwo, 2023-06-23

Ik had wat weinig tijd, maar hier zijn mijn uitwerkingen en opmerkingen. De opgaven staan op examenblad.nl.

Eindexamen wiskunde-B, havo, 2023-05-23

Ik heb ook naar het eindexamen wiskunde B van de havo gekeken. De opgaven zijn op examenblad.nl te vinden; hier zijn mijn oplossingen en opmerkingen

Eindexamen Wiskunde II, vwo, 1975

Nog meer jeugdsentiment: het examen wiskunde II uit 1975. Ik weet niet meer welke methoden ik op dat moment tot mijn beschikking had. Mijn uitwerkingen zijn hier zeker beinvloed door dingen die ik later geleerd heb.

Eindexamen Wiskunde I, vwo, 1975

Via de site van Henk Hofstede vond ik het examen Wiskunde I dat ik in 1975 gedaan moet hebben. Ik moet bekennen dat ik het niet meer herkende. Ik heb het nog maar eens gemaakt. Hier zijn mijn uitwerkingen.

Eindexamen wiskunde-B, vwo, 11-05-2023

De opgaven zijn te vinden op examenblad.nl; zie hier voor mijn uitwerkingen en opmerkingen.
Ik vond het een beetje wisselend. Heel flauwe, bijna voorgekauwde, opgaven met hier en daar een vraag die meer dan één stap diep gingen.

Eindexamen Wiskunde-B, vwo, 2022-07-06

De opgaven zijn te vinden op examenblad.nl. Hier zijn mijn uitwerkingen en commentaar. Ik was iets aardiger dan het tweede examen. Een paar keer moest een beetje worden doorgedacht.

© 2011 TU Delft