Posts tagged verzamelingenleer

Een paar maanden geleden stond er een artikel in Quanta magazine over het aantal reële getallen, een vraag die verzameltheoreten al bijna 150 jaar bezig houdt.

Het begin van het artikel beschrijft in de ietwat hijgerige stijl van Quanta de vermeende implicaties van een recent resultaat van David Asperó en Ralf Schindler: een implicatie tussen twee niet-triviale verzameltheoretische principes.

Die implicaties betreffen Cantor’s ContinuumHypothese. De oorspronkelijke formulering had te maken met het indelen van de oneindige deelverzamelingen van de reële rechte R in klassen door middel van bijecties (een-op-eencorrespondenties). Cantor dacht/vermoedde dat er voor een oneindige deelverzameling, X, van R maar twee mogelijkheden ware: in bijectie met R zelf of in bijectie met de verzameling N der natuurlijke getallen.

Later kwam er een nieuwe versie van dat vermoeden. Cantor had namelijk een meetlat van kardinaalgetallen ontwikkeld om aan oneindige verzamelingen ook een “aantal elementen” toe te kunnen kennen. Die getallen werden genoteerd als ℵ_α, waarbij α een andere meetlat doorloopt. Cantor’s vermoeden kwam neer op de bewering dat zijn toekenning van “aantal elementen” voor R het resultaat ℵ₁ zou geven. Wat we nu weten is dat de huidige axioma’s van de verzamelingenleer niet sterk genoeg zijn om te bewijzen dat het “aantal elementen” van R inderdaad gelijk is aan ℵ₁ (het kleinst mogelijke), en ook niet sterk genoeg om te bewijzen dat dat niet zo is.

Door de jaren heen hebben verzameltheoreten geprobeerd nieuwe axioma’s te formuleren die “natuurlijk” zijn en die een definitief antwoord geven op de vraag naar het “aantal elementen” van R. Het resultaat van Asperó en Schindler verbindt twee van dergelijke axioma’s. Het ene heet Martin’s Maximum⁺⁺ en het andere gaat onder de weinig informatieve naam (*). Beide impliceren dat het “aantal elementen” van R gelijk is aan ℵ₂. Dat is n kardinaalgetal hoger dan Cantor hoopte en zegt dat er voor de oneindige deelverzamelingen van R nog een derde mogelijkheid is naast de twee die hierboven genoemd zijn.

Wat Asperó en Schindler hebben laten zien is dat (*) een gevolg is van Martin’s Maximum⁺⁺. Wie het artikel leest zal zien dat de formuleringen van de twee principes en het bewijs van de implicatie verre van eenvoudig zijn. Dat bewijs mag met een gerust hart een mijlpaal genoemd worden.

Maar brengt het ons dichter bij de oplossing van Cantor’s probleem? Dat is nog maar de vraag, zoals gezegd: de principes zijn niet eenvoudig en hun consistentie met de gebruikelijke axioma’s vergt nogal wat machinerie. Daar hebben we het nog niet over gehad: het is mooi dat die principes een oplossing van Cantor’s probleem opleveren maar dat helpt niet als hun negaties uit de gebruikelijke axioma’s af te leiden zouden zijn. Dat is gelukkig niet zo maar de moeite die het kost dat vast te stellen laat ze wat minder natuurlijk klinken.

Aan het eind van het stuk in Quanta wordt een even natuurlijk (of even onnatuurlijk zo u wilt) principe besproken dat Cantor’s probleem nu juist oplost zoals Cantor dat wilde.

Wat is nu de conclusie? Er is in het bouwwerk van implicaties tussen allerlei verzameltheoretische principes een belangrijke pijl toegevoegd. Maar die nieuwe pijl brengt ons (in tegenstelling tot de titel van het artikel) niet echt dichterbij een oplossing van Cantor’s probleem. De nieuwe pijl maakt de principes die hij verbindt niet automatisch meer natuurlijk dan andere potentiële axioma’s.