Posts in category Wiskunde
Eindexamen Wiskunde B 2017
Het Eindexamen Wiskunde B van 2017 was gisteren, 15 mei. Ik heb het gemaakt.
Het examen is op examenblad.nl te vinden. Het examen test een redelijk aantal vaardigheden: e-macht, logaritme, gonio, integraal- en differentiaalrekening, en meetkunde.
Hier zijn mijn uitwerkingen
What is `Finite’?
What does `finite’ mean, mathematically?
In February I talked about this in our Lunch Colloquium; you can read the slides of that talk here.
Some time later the editors of Machazine, the journal of our student association Christiaan Huygens, asked me to write something `mathematical’ for them. I decided to expand my talk into a short article for them, it is available here, for your edification.
Een `wiskundig’ probleem (deel 2)
Naar aanleiding van allerlei reacties, op Twitter, op de vorige post een paar losse opmerkingen.
1. Sommigen gaven 13 als antwoord bij 5+8, met de rechtvaardiging dat de tweede en derde gelijkheden gewoon fout waren. Dat vind ik eigenlijk de verstandigste oplossing: als je + schrijft dan bedoel je kennelijk `optellen’; niet raar doen dus.
2. Het meest gegeven antwoord is 45 en de gedachtengang zal veelal iets geweest zijn als: de onderlinge verschillen zijn 7 en 9, dus van 3 naar 4 zal dat 11 zijn, van 4 naar 5 dan 13, en dat brengt ons 45 als uitkomst bij 5+8.
2a. Als alternatief kun je proberen te reconstrueren wat de nieuwe betekenis van + kan zijn; het meest voor de hand ligt `de som van m*n en m’ (niet m*n+m opschrijven want + betekent niet meer `optellen’), ook dat leidt tot 45.
2b. Wat minder mensen kwamen met 32: die oplossing slaat 4 over en gebruikt het verschil 11 om de volgende uitkomst te bepalen.
2c. Een ander populair antwoord is 34, met als uitleg “tel de echte waarde van de som op bij de vorige uitkomst”. Als je dit zou toepassen met inachtneming van de tussenstap 4+7 zou je weer op 45 uitkomen.
3. In het tijdschrift Pythagoras, in de nummers van april 2009 (De IQ-formule) en juni 2009 (IQ-formule light), is uitgelegd hoe je systematisch bij een eindig rijtje getallen een formule kunt maken die het rijtje voortzet. In tegenstelling tot wat de titels van de artikelen suggereren zul je het met deze formules bij een IQ-test niet goed doen omdat de formule geen rekening houdt met de gedachten van de opstellers.
4. De formule uit de vorige post, met als resultaat 5@8=4754660328285, is eigenlijk niet meer dan de methode uit Pythagoras, maar dan met heel ingewikkelde input.
5. In dit boek (pagina’s 344 en 345) wordt het rijtjes-voortzettings-probleem statistisch aangepakt. Met Bayesiaanse argumenten wordt voor twee potentiële verklaringen bekeken welke de meest waarschijnlijke is. Ook daar de waarschuwing dat het nooit 100% duidelijk zal zijn wat de opsteller van het probleem echt gedacht heeft.
Een `wiskundig’ probleem
Op internet doet de volgende opgave de ronde
Ik ben persoonlijk geen fan van dit soort `sommen’ omdat de taak niet is te achterhalen wat *de* wetmatigheid achter de gegevens is, want een unieke wet is er niet, maar de wetmatigheid die in het hoofd van de opsteller zat. Mijn standaardantwoord is: 0 (of anders 42, het universele antwoord uit The Hitch-hikers Guide to the Galaxy).
Is er iets zinnigs over een opgave als deze te zeggen? Laten we eens kijken.
Om te beginnen: de + heeft duidelijk niet de functie van optelling. Dat bracht velen er toe het door een ander symbool te vervangen, @ bijvoorbeeld.
De vraag is dan: is er een bewerking @ die voor elk paar natuurlijke getallen m en n een natuurlijk getal m@n produceert en wel zo dat 1@4=5, 2@5=12 en 3@6=21? En zo ja, wat is dan 5@8?
Voor een wiskundige is het antwoord duidelijk: afgezien van die drie eisen kunnen we doen wat we willen, dus het antwoord is ja en 5@8 kan elk getal zijn.
Bijvoorbeeld: definieer m@n=0, behalve in de voorgeschreven drie gevallen; dat rechtvaardigt mijn standaardantwoord. Als we apart 5@8=42 definieren wordt het universele antwoord van Deep Thought correct.
De meeste mensen verwachten niet een antwoord als boven maar een *formule*; één of andere uitdrukking met m en n er in die `voorspelt’ wat 5@8 moet zijn. Dat soort formules zijn er te over.
Als je goed kijkt zijn de drie gegevens van de vorm m@(m+3)=x, dus het zou
kunnen dat de bewerking een flauwe is die alleen van de eerste coördinaat
afhangt.
Er zijn drie waarden gegeven en die kunnen met behulp van een kwadratische uitdrukking als functie van m alleen gegeven worden.
Ga maar na dat m@n=m*m+4m aan de drie eisen voldoet (vul m=1,2,3 in). Dat geeft het op internet meest gegeven antwoord op de vraag: 5@8=25+20=45.
Met een kleine truc kun je oneindig veel formules maken die aan de drie eisen voldoen, maar die voor 5@8 telkens een andere uitkomst opleveren. Die truc komt er op neer dat je iets maakt dat voor 1, 2, en 3 de waarde nul oplevert en voor andere natuurlijke getallen niet, bijvoorbeeld (m-1)(m-2)(m-3).
Nu kunnen we oneindig veel formules opschrijven die allemaal aan de gegevens voldoen maar die voor 5@8 telkens iets anders opleveren: neem een vaste k en definieer m@n=m*m+4m + k(m-1)(m-2)(m-3).
Met wat puzzelen zijn er vast formules te maken die voor 5@8 elke waarde kunnen produceren die je maar wilt; ik zou zeggen: aan het werk.
Hier is alvast een voorbeeld.
Deze geeft 5@8=4754660328285.
Voor wie wil weten of het rijtje 5, 12, 21 nog natuurlijke uitbreidingen heeft kan ik de On-line Encyclopedia of Integer Sequences aanbevelen: vul het rijtje in het zoekveld in om te zien wat er allemaal te vinden is.
A Pitch
Gisteren (2017-05-08) op de EWI-onderwijsdag een TEDx-achtige pitch gemaakt.
Dit is hem:
Op 29 november 1873 vroeg Georg Cantor aan Richard Dedekind:
“Zijn er evenveel natuurlijke getallen als reële getallen?”
Dedekind schreef in zijn dagboek dat hij dat maar een rare vraag vond.
Toch ging hij meedenken en samen stelden ze onder meer vast dat er evenveel
rationale getallen als natuurlijke getallen zijn.
Op 7 december 1873 kwam de doorbraak; Cantor schreef aan Dedekind:
“Er zijn meer reële getallen dan natuurlijke getallen.”
Omdat dit liet zien er van een ander, belangrijk, soort getallen ook meer
zijn dan natuurlijke getallen schreef Dedekind in zijn dagboek:
“Cantor heeft op magistrale wijze mijn twijfel weggenomen.”
Door duidelijk te maken wat `evenveel’ betekent en te laten zien dat er meer
dan één soort oneindig bestaat heeft Cantor de Wiskunde voorgoed
veranderd.
Is de wetenschap echt zo cynisch geworden?
Een jaar geleden werd de Nationale Wetenschapsagenda (NWA) gepresenteerd. Hieronder een reactie van Marc van Oostendorp en mij op de ontwikkelingen nadien: de individuele vraagstellers lijken in de kou te komen staan. Wij hebben beiden individuele vragen beantwoord, op neerlandistiek.nl (zoek op “onverwachte taalvragen in de nationale wetenschapsagenda”) en op tumblr.com.
De cirkel van de Nationale Wetenschapsagenda (NWA) is rond. Anderhalf jaar geleden begon het als een weinig concreet plan om een financiële prioriteiten te stellen in het onderzoeksbeleid en tegelijkertijd als een poging om het publiek beter bij datzelfde onderzoek te betrekken. Nu eindigt het in een reeks van weinig precieze ’routes’ voor het onderzoek en nog minder betrokkenheid van het publiek bij datzelfde onderzoek.
In april 2015 stond de website van de NWA open voor het publiek voor het stellen van vragen. Die website was het resultaat van een ontwikkeling die in 2014 was ingezet in het document Wetenschapsvisie 2025. Hierin werd de NWA voorgesteld als bindmiddel voor het wetenschappelijk onderzoek in Nederland. Het document was weinig specifiek over de aard of vorm van zo’n agenda.
Clustervragen
Er werd uiteindelijk voor gekozen de Nederlandse bevolking begin 2015 op te roepen vragen aan ‘de wetenschap’ te formuleren; deze zouden de thema’s gaan bepalen voor het onderzoek van de toekomst. De voorzitters Beatrice de Graaf en Alexander Rinnooy Kan deden die oproep in alle mogelijke media, onder verwijzing naar de website. Er werd rond die tijd ook enige scepsis geuit over dit project. Dit betrof vooral de verwachte kwaliteit van de vragen: veel onderzoekers waren bang dat ‘de buitenwacht’ geen vragen op niveau zou kunnen formuleren.
Op 1 mei 2015 ging het loket dicht en werd begonnen met het inventariseren en ordenen van de, uiteindelijk 11.656, vragen. Eind november 2015 resulteerde dit in de Nationale Wetenschapsagenda, een boekwerk waarin de individuale vragen niet terug te vinden zijn maar wel 140 zogeheten ‘clustervragen’ alsmede 16 ‘exemplarische routes’ door die clustervragen. Die routes verbinden de clustervragen en clustervragen kunnen in meer dan één route voorkomen.
Routes
Die vragen zijn vervolgens op de website van de agenda gezet en bij elke clustervraag zijn individuele vragen gezet die op het desbetreffende onderwerp betrekking hebben. Naast de 16 routes uit het boek zijn er in de zomer van 2016 nog negen routes op de website bijgekomen tot een totaal van 25. De titels van die routes bestaan voornamelijk uit trefwoorden als ‘Smart, livable cities’, ‘Smart Industry’ en ‘Quantum/nanorevolutie’.
Onlangs maakte het ministerie van onderwijs bekend dat het uit die routes er drie had gekozen waarin zal worden geïnvesteerd. Het gaat daarbij om thema’s die het ministerie toch al belangrijk vond: ‘onderwijs en jongeren in een veerkrachtige samenleving’, ‘digitalisering’ en ‘natuurwetenschappelijke kennis als bron van vernieuwend vermogen’. Of er andere thema’s waren gekomen als er indertijd andere vragen waren gesteld, is onduidelijk.
En de individuele vragen?
Het gevoel dat de individuele vragen er niet toe doen, wordt breed gedeeld in wetenschappelijk Nederland. Toen één van ons een bijeenkomst over de NWA bijwoonde op de faculteit EWI van de TU Delft, spitsten de aanwezigen de oren bij het horen van de namen van de routes maar bij de vraag “en wat doen we met de individuele vragen?” gingen de schouders omhoog.
Aan de oorspronkelijke zorgen van onderzoekers is zo keurig tegemoet gekomen: dat de vragen uit ‘het publiek’ misschien niet aan de vereiste wetenschappelijke kwaliteit voldoen, maakt niet uit. Die vragen zijn toch uit het zicht verdwenen.
Vraagstellers in de kou?
Ons is dat te cynisch. Deze manier van doen laat de oorspronkelijke vragenstellers in de kou staan; hun vragen krijgen niet de aandacht die beloofd is. Althans er zijn wel wat particuliere initiatieven genomen: in de zomer is onder andere op Lowlands en bij het KNMI in de vorm van ‘huiskamercolleges’ aandacht geweest voor vragen. Wij hebben, ieder op ons eigen terrein, ook wat vragen beantwoord. Naar verluid komt er volgend jaar een boek onder auspiciën van de organisatie waarin 100 (van de ruim 11.000!) vragen beantwoord worden.
Maar tot een systematische poging om vragen te beantwoorden is het nooit gekomen. Het bureau van de NWA gaat dezer dagen dicht en daarmee lijkt de hoop te vervliegen dat dit alsnog gebeurt.
Ikhebeenvraag
Wij vinden dat jammer. Wanneer je mensen uitnodigt om vragen te stellen, mogen die mensen ook verwachten dat je je best doet om een antwoord te geven, niet dat je ze alleen gebruikt om meer subsidie te krijgen voor wat je toch al wilde doen. Is de wetenschap echt zo cynisch geworden?
Er zijn ook best voorbeelden van hoe de wetenschap het zou kunnen. De Rijksuniversiteit Groningen heeft bij het 400-jarig bestaan een mini-NWA gemaakt en 400 vragen beantwoord. En de Vlaamse wetenschappelijke wereld heeft een vraagbaak, ikhebeenvraag.be, waar wetenschappers van een groot aantal instellingen wetenschappelijke vragen beantwoorden.
Klaas Pieter Hart is wiskundige aan de TU Delft; Marc van Oostendorp is taalkundige aan het Meertens Instituut (KNAW).
Recent Comments