Posts in category Uncategorized

I Abels Tårn på 23. mars hørte jeg et forsøk å forklare hvorfor Robert Langlands fikk tildelt Abelprisen 2018. “Hans program danner broer mellom tallteorien og andre deler av matematikken.” Det ble ikke mye mer diskusjon; det var snakk om `automorfe former’, men bare snakk.

Hvis en ønsker å vite hva Langlands Program handler om så kan enfinne noen innledende artikler på Abelprisens nettsted. I Abels Tårn hører vi også om prisvinneren fra 2016: Andrew Wiles. Wiles sin bevis av Fermats siste theorem er et eksempel på bruk av en bro mellom Tallteorie og Algebraisk Geometri.

Jeg lurte på om det ikke var een liten bro mellom tallteori og geometri (algebraisk eller annerledes) som kunne illustrere hvordan geometri kan hjepe tallteori (eller omvendt).

Her har vi kanskje en, et enkelt spørsmål i talltheorie: fins det to kvadrattall der et er doppelt så stor enn det andre? Det vil si: fins det to naturlige tall, m og n, slik at n²=2×m²?
For dette spørsmålet kan vi bygge en bro til geometrien: vi tegner to kvadrater, et med sidelengde m og et med sidelengde n. og spørsmålet er om vi kan få det til at arealet av det andre kvadratet er to ganger arealet av det første.
Vi kan tegne kvadratene sånn:.

Det er en elementær læresetning at en kan doble arealet av en kvadrat ved å tegne et kvadrat hvilket sidelengde er lik diagonalen in det første kvadratet.
Nå tar vi en rettvinklet trekant med sidelengder m, m og n (halvparten av kvadratet med sidelengder m). Vi danner et punkt z på som deler hypotenusen i to stykker, av lengde m og n-m, og så tegner vi linien gjennom z vinkelrett på hypotenusen og mot siden av trekantet.

Hypotenusen i det nye trekantet er diagonalen in et kvadrat med sidelengde n-m og derfor vet vi at kvadratet av hypotenusen er lik 2(n-m)². Når vi bruker at n²=2m²: så får vi

2(n-m)²=2n²-4nm+2m²=4m²-4nm+n²=(2m-n)²

Den nye hypotenusen er altså 2m-n lang.

Dette beviser at det er ikke mulig å finne to naturlige tall m og n som i spørsmålet: hvis det fins to slike tall så kan vi finne andå to slike tall som er mindre. Men for de naturlige tall vet vi: hvis det fins et tall som har en (ønsket) egenskap så fins det et minste tall med denne egenskapen. Så vi kunne ha begynt med det minste tall n slik at det fins et tall m for hvilet vi har n²=2m² men da er 2m-n et mindre tall med samme egenskapen. Dette motbeviser at en sånn n fins.

Her ser vi, som i beviset til Wiles, at geometrien hjelper å løse et tallteoretisk problem.

Nå er det slik at vårt tallteoretisk problem har en (nogså enkel) tallteoretisk løsning: i kvadraten n² finner vi et likt antall primfaktorer 2, dobbelt så mange som i n selv. Og i 2 ganger et kvadrat, 2m², finner vi et odde antall primfaktorer 2, dobbelt så mange som i m selv plus en til. Det betyr at 2m² er aldri lik n².

Og mange folk håper at Fermats Siste Teorem har en slik enkel bevis også.

Op twitter keek Marc van Oostendorp terug naar een blogpost van hemzelf over het woord `reëel’: Hoe reëel is meer dan reëel?. In dat stuk wordt gesproken van reële kansen en van kansen die meer dan reëel zijn. En toen sloeg mijn hoofd een beetje op hol: wat voor kansen zijn dat nou weer?

In de wiskunde wordt met het begrip `kans’ heel anders omgegaan dan in het dagelijks leven. In deze column van Ionica Smeets word de wiskundige opvatting van `kans nul’ vergeleken met de dagelijkse. In het kort: het wiskundige `kans nul’ betekent niet hetzelfde als `dat gebeurt niet’ maar als we horen dat de morgen de kans op regen nul is gaan we er van uit dat het morgen niet zal regenen.
Dat verschil brengt de professionele kansrekenaars er toe het woord `kans’ maar los te laten en het bijna-synonieme `waarschijnlijkheid’ gebruiken.

Maar goed, omdat die termen `kans’ en `waarschijnlijkheid’ buiten de wiskunde nagenoeg synoniem zijn kan men zich afvragen wat we aanmoeten met `reële kansen’ en `meer dan reële kansen’.

Wat het eerste betreft: `reële kansen’ is een pleonasme. De kans/waarschijnlijkheid van een gebeurtenis is, per definitie, een reëel getal uit het interval [0,1].

Maar nu het tweede, `meer dan reële kansen’. Wat moeten we daar als wiskundigen mee? Je zou kunnen denken een waarschijnlijkheden met waarden buiten de reële getallen. Is dat mogelijk? Zou je complexwaardige kansen kunnen hebben of zelf quaternion-waardige?
Als je naar de Axioma’s van Kolmogoroff kijkt lijkt het niet: de eerste eis is dat P(A)≥0 voor elke gebeurtenis. Aan de andere twee eisen is met complex- of quaternion-waardige kansen wel te voldoen; er is een goed ontwikkelde theorie van maten met waarden in de complexe getallen of in de quaternionen. Met een beetje goede wil kun je in dit geval een kansmaat definiëren als eentje die alleen waarden in de eenheidsbol aanneemt. De vraag is natuurlijk wat je je dan moet voorstellen bij negatieve of een zuiver imaginaire waarschijnlijkheid, maar we kunnen er in ieder geval mee rekenen. En, wie weet, het zou niet de eerste keer zijn dat zulk wiskundig speelgoed een toepassing vindt.

Er is nog een andere manier om kansen `meer dan reëel’ te maken en dat heeft, onder meer, te maken met die `kans nul’ van hierboven. Denk, bijvoorbeeld, aan de uniforme kansverdeling op het interval [0,1]. Deze kansverdeling beschrijft wat er gebeurt als je willekeurig pijltjes in dat interval gooit: de kans dat je het interval [⅓,⅔] raakt is gelijk aan ⅓ en in het algemeen: elk interval (a,b) heeft raakkans b-a. Het gevolg van deze afspraak is dat elk punt raakkans nul heeft. Echter, als je een pijltje in het interval gooit dan raak je een punt, ook al had je kans nul dat punt te raken. Dit is waar het in de column van Ionica Smeets om ging: wiskundig betekent `kans nul’ dus niet hetzelfde als `onmogelijk’.

Wat sommige mensen hierbij ook een beetje stoort is dat kansen niet altijd goed opgeteld kunnen worden: elk punt heeft raakkans nul en als we al die raakkansen optellen krijgen we weer nul, toch? Maar die som zou gelijk moeten zijn aan de kans dat je het interval [0,1] raakt en die is toch gelijk aan 1. Daarnaast is het ook nog zo dat niet elke deelverzameling van [0,1] een welgedefinieerde raakkans heeft. In de praktijk is dat allemaal niet zo erg: het gaat bij de berekeningen vrijwel nooit om individuele punten maar om verzamelingen, en die verzamelingen hebben hebben vaak beschrijvingen waaraan meteen te zien is dat ze een welbepaalde raakkans moeten hebben.

Wat te doen? Je kunt in het model van Solovay gaan werken; daar heeft elke verzameling een welgedefinieerde raakkans. Echter, de optelwet heb je daar nog steeds niet, en die kun je ook niet krijgen zolang je eist dat je raakkansen reële getallen zijn. En hier komen de meer dan reële kansen in beeld.
In dit artikel (ook hier te vinden) ontwikkelden Vieri Benci, Leon Horsten, en Sylvia Wenmackers een waarschijnlijkheidsrekening met waarden in het interval [0,1] van een veel grotere getallenverzameling dan R, maar die er wat elementaire algebra betreft niet van te onderscheiden is. Het onderscheid zit hem in de rijkheid van de verzameling en de mogelijkheid een heleboel oneindige sommen zinvol te kunnen behandelen. De raakkans van een enkel punt van het gewone interval [0,1] is positief maar kleiner dan elk `normaal’ positief reëel getal en dat maakt die kans `meer dan reëel’; ook de verzamelingen die geen welbepaalde raakkans hadden krijgen er nu een, maar ook die kansen zijn `meer dan reëel’.

Een paar weken geleden stond de volgende vraag op wisfaq.nl onder de titel Moeilijk bewijs.

Op een lijn zijn elf verschillende punten gegeven: P₁,P₂, …, P₁₁. Voor elk tweetal punten geldt: de afstand tussen P_p en P_q is ten hoogste 1. Bewijs dat de som van alle (55) afstanden |P_pP_q| kleiner is dan 30.

Dat klinkt inderdaad moeilijk (55 afstanden niet groter dan 1 bij elkaar optellen en de som onder de 30 houden); tot je een plaatje tekent van alle elf punten van links naar rechts op die lijn. Voor die lijn kun je net zo goed de getallenlijn nemen en dan heb je elf getallen, P₁,P₂, …, P₁₁ gerangschikt van klein naar groot (teken de situiatie maar even); De afstand tussen P_i en P_j is dan gewoon P_j-P_i als i<j. De situatie blijkt dan wat gunstiger: de grootste onderlinge afstand is P₁₁-P₁, de andere zijn kleiner (soms een stuk kleiner).

In groepen verdelen

Zo kun je bijvoorbeeld alle afstanden P_i+1-P_i voor i=1,2,…10 bij elkaar optellen en dat geeft P₁₁-P₁; toch mooi tien termen die samen niet meer dan 1 opleveren.

Vervolgens kunnen we alle afstanden P_i+2-P_i optellen, voor i=1,2,…,9. Dat doen we in twee groepen: voor de oneven i en voor de even i. We krijgen respectievelijk (P₃-P₁) + (P₅-P₃) + (P₇-P₅) + (P₉-P₇) + (P₁₁-P₉) = P₁₁-P₁ en (P₄-P₂) + (P₆-P₄) + (P₈-P₆) + (P₁₀-P₈) = P₁₀-P₂. De totale som is dus kleiner dan 2 (kleiner omdat P₁₀-P₂<1).

Als je de verschillen P_i+3-P_i gaat optellen, voor i=1,2,…,8, dan ontdek je dat je drie groepjes moet maken, elk met een som kleiner dan 1.

Bij de verschillen P_i+4-P_i krijg je vier groepen met een totale som kleiner dan 4.

Bij de verschillen P_i+5-P_i krijg je vijf groepen met een totale som kleiner dan 5.

Bij de verschillen P_i+6-P_i krijg je ook vijf groepen met een totale som kleiner dan 5: je krijg alleen P₇-P₁ tot en met P₁₁-P₅ omdat 6+6=12.

Dit loopt zo af, je krijg achtereenvolgens sommen die kleiner zijn dan 4, 3, en 2; aan het eind staat nog een keer P₁₁-P₁ en die is nioet groter dan 1.

Alles bij elkaar geteld is de totale som dus kleiner dan 1+2+3+4+5+5+4+3+2+1=30.

Kan het beter?

De 30 kan niet verbeterd: door P₁ tot en met P₆ heel dicht bij 0 te nemen en de rest van de punten heel dicht bij 1 kun je de totale som zo dicht bij 30 krijgen als je maar wilt.

Verder onderzoek

Probeer een formule op te stellen voor de kleinste bovengrens van de som van de ondelinge afstanden bij n punten.

Wat kunnen we zeggen als de punten in het vlak liggen? Alle ondelinge afstanden kleiner dan 1; hoe groot kan de som van die afstanden zijn?

Welcome to TU Weblog. This is your first post. Edit or delete it, then start blogging!