Posts in category Uncategorized
Hoeveel reële getallen?
Een paar maanden geleden stond er een artikel in Quanta magazine over het aantal reële getallen, een vraag die verzameltheoreten al bijna 150 jaar bezig houdt.
Het begin van het artikel beschrijft in de ietwat hijgerige stijl van Quanta de vermeende implicaties van een recent resultaat van David Asperó en Ralf Schindler: een implicatie tussen twee niet-triviale verzameltheoretische principes.
Die implicaties betreffen Cantor’s ContinuumHypothese. De oorspronkelijke formulering had te maken met het indelen van de oneindige deelverzamelingen van de reële rechte R in klassen door middel van bijecties (een-op-eencorrespondenties). Cantor dacht/vermoedde dat er voor een oneindige deelverzameling, X, van R maar twee mogelijkheden ware: in bijectie met R zelf of in bijectie met de verzameling N der natuurlijke getallen.
Later kwam er een nieuwe versie van dat vermoeden. Cantor had namelijk een meetlat van kardinaalgetallen ontwikkeld om aan oneindige verzamelingen ook een “aantal elementen” toe te kunnen kennen. Die getallen werden genoteerd als ℵα, waarbij α een andere meetlat doorloopt. Cantor’s vermoeden kwam neer op de bewering dat zijn toekenning van “aantal elementen” voor R het resultaat ℵ1 zou geven. Wat we nu weten is dat de huidige axioma’s van de verzamelingenleer niet sterk genoeg zijn om te bewijzen dat het “aantal elementen” van R inderdaad gelijk is aan ℵ1 (het kleinst mogelijke), en ook niet sterk genoeg om te bewijzen dat dat niet zo is.
Door de jaren heen hebben verzameltheoreten geprobeerd nieuwe axioma’s te formuleren die “natuurlijk” zijn en die een definitief antwoord geven op de vraag naar het “aantal elementen” van R. Het resultaat van Asperó en Schindler verbindt twee van dergelijke axioma’s. Het ene heet Martin’s Maximum++ en het andere gaat onder de weinig informatieve naam (*). Beide impliceren dat het “aantal elementen” van R gelijk is aan ℵ2. Dat is n kardinaalgetal hoger dan Cantor hoopte en zegt dat er voor de oneindige deelverzamelingen van R nog een derde mogelijkheid is naast de twee die hierboven genoemd zijn.
Wat Asperó en Schindler hebben laten zien is dat (*) een gevolg is van Martin’s Maximum++. Wie het artikel leest zal zien dat de formuleringen van de twee principes en het bewijs van de implicatie verre van eenvoudig zijn. Dat bewijs mag met een gerust hart een mijlpaal genoemd worden.
Maar brengt het ons dichter bij de oplossing van Cantor’s probleem? Dat is nog maar de vraag, zoals gezegd: de principes zijn niet eenvoudig en hun consistentie met de gebruikelijke axioma’s vergt nogal wat machinerie. Daar hebben we het nog niet over gehad: het is mooi dat die principes een oplossing van Cantor’s probleem opleveren maar dat helpt niet als hun negaties uit de gebruikelijke axioma’s af te leiden zouden zijn. Dat is gelukkig niet zo maar de moeite die het kost dat vast te stellen laat ze wat minder natuurlijk klinken.
Aan het eind van het stuk in Quanta wordt een even natuurlijk (of even onnatuurlijk zo u wilt) principe besproken dat Cantor’s probleem nu juist oplost zoals Cantor dat wilde.
Wat is nu de conclusie? Er is in het bouwwerk van implicaties tussen allerlei verzameltheoretische principes een belangrijke pijl toegevoegd. Maar die nieuwe pijl brengt ons (in tegenstelling tot de titel van het artikel) niet echt dichterbij een oplossing van Cantor’s probleem. De nieuwe pijl maakt de principes die hij verbindt niet automatisch meer natuurlijk dan andere potentiële axioma’s.
Eindexamen wiskunde B vwo 2021-07-07
Eergisteren was de derde gelegenheid voor wiskunde B (vwo). De opgaven staan op examenblad.nl. Ik heb de opgaven gemaakt en eigenlijk weinig commentaar, ze leken mij goed te doen. Zelfs de `contextopgave’ was redelijk, zonder al te veel tekst.
Eindexamen wiskunde B vwo 2021-06-18
Afgelopen vrijdag was de tweede zitting wiskunde B voor het vwo. De opgaven zijn hier te vinden. Ik heb de opgaven gemaakt en van commentaar voorzien; er viel me eigenlijk niet veel op.
Eindexamens wiskunde A en B, havo, 2021-05-26
Gisteren waren de eindexamens wiskunde A en wiskunde B van de havo (opgaven onder de links). Ik heb de opgaven bekeken en ik wil hier wat commentaar leveren.
Wiskunde A: twaalf bladzijden tekst met 24 vragen. In voorgaande jaren heb ik het examen wel eens gemaakt en de individuele vragen van commentaar voorzien maar daar heb ik nu geen tijd genoeg voor. En ik moet zeggen: al lezende verging mij de lust de sommen te maken; heel veel tekst met vragen die vaak neerkomen op, na enige reflectie, indrukken van de juiste knoppen op een rekenmachine. Er waren uitzonderingen: vraag 16 vraagt welk plaatje van een kansverdeling hoort bij “hoog gemiddelde, lage mediaan”; vraag 22 wil een rechtvaardiging zien van coefficienten in een, op het eerste gezicht, nogal rare vergelijking .
Op de eerste bladzijde moest ik even slikken: daar werd gesproken over “tweemaal zo dichtbij” en “hoeveel keer zo dichtbij” bij een verhaal over het testen van het gezichtsvermogen. Bij mijn weten is ‘dichbijheid’ geen SI-eenheid en ik vind het verdubbelen van dichtbijheid nogal dubbelzinnig. Op dit blog heb ik het ook al eens over ‘twee keer zo langzaam‘ gehad, wat hetzelfde zou moeten betekenen als ‘de halft langzamer’.
Wiskunde B: twaalf bladzijden tekst met 17 vragen (niet alle bladzijden waren geheel gevuld). Een mix van ‘echte’ wiskundevragen en wat stukken met meer tekst.
De ‘echte’ vragen gingen over functies, cirkels en lijnen, sinusoiden, … Het zag er, voor mij, niet moeilijk uit. Een enkele vraag was wel er makkelijk, vraag 7 was zo voorgekauwd dat alleen nog u3=64 opgelost moest worden.
Er waren twee vragen met tekst: een paginalang verhaal over roeimachines leidde tot twee aardige vragen over driehoeken, en aan het eind twee vragen over hardlooptijden waar de grootste klus leek te zijn het opstellen van de juiste vergelijkingen.
Eindexamen wiskunde A vwo 2021-05-17
Ik heb naast het examen wiskunde B nu ook het examen Wiskunde A gemaakt en van commentaar voorzien.
De opgaven staan op examenblad.nl en mijn uitwerkingen staan op deze plek.
In mijn uitwerkingen staan opmerkingen over de individuele opgaven. Ik wil het hier nog even over het examen als geheel hebben. Er was ontzettend veel tekst en veel van die tekst deed er niet toe. Een extreem voorbeeld was de laatste opgave: twee a4-tjes tekst met aan het eind niet veel meer dan een rekensom. Ik loop het examen even deel voor deel door.
Linkshandigheid en ronde getallen
Drie pagina’s met vijf vragen geïnspireerd(?) door een onderzoek uit 2013 dat zou hebben aangetoond/bevestigd dat linkshandige mensen vaker ronde getallen zouden noemen bij vragen naar aantallen. De rondheid van getallen zou volgens de formule van Sigurd bepaald zijn.
Ik dacht dat dit uit de duim gezogen was maar het onderzoek heeft echt plaatsgevonden; lees erover in PLOS One. En Bengt Sigurd was een Zweedse taalkundige die in 1988 een artikel over Round Numbers publiceerde.
De extra tekst wekt hoge verwachtingen maar de uiteindelijke opgaven zijn veelal niet echt moeilijk.
Draaiend huis
Na een lege pagina gaan we naar Tilburg, het draaiende huis van John Körmeling. Dat huis is aanleiding tot een vier vragen over roterende objecten en een sinusfunctie.
Mathematical Bridge
Een brug in Cambridge geeft ons drie vragen over een cirkel en een raaklijn daar aan.
The International
Goed voor vijf vragen. Het gaat over prijzengelden en teamsamenstellingen by on-line gaming: E-sports. Drieënhalve pagina tekst voor vijf korte vragen. Wel een mix: exponentiële groei, wat combinatoriek, en functieonderzoek. Maar de wiskundige inhoud had met veel minder omhaal gevraagd kunnen worden. Op twitter werd al een poging gedaan.
Hier een poging. De inleiding van de vraag met onderaan mijn iets kortere versie ervan. pic.twitter.com/czw6hTod8g
— Casper Hulshof 👻 (@CasperHuls) May 19, 2021
Huurprijzen in New York
Drie vragen: twee over exponentiële groei en een grafiek-leesvraag.
Inkomensongelijkheid
Twee volle bladzijden met aan het eind één rekensom. Ik had eerst niet door dat de vraag ging over het verschil van twee soorten inkomensverschillen. Er was één symbool, S, voor een inkomensverschil en de vraag had het over “het verschil tussen de S bij het secundaire inkomen en die bij het primair inkomen”.
En toch …
Het is makkelijk grappen maken (of klagen) over dit soort examens met lappen tekst waar de sommen soms aan de haren bijgesleept lijken. Maar het is een belangrijke vaardigheid: uit een lap tekst de juiste dingen halen om verder mee te werken. De vraag is wel of je dat op deze manier op een moment met allerlei extra spanning moet gaan zitten toetsen.
wiskunde vmbo GL en TL 2021
Op twitter werd ik gevraagd ook eens naar het examen uit de titel te kijken. Dat heb ik gedaan.
De opgaven zijn weer op examenblad.nl te vinden. Mijn uitwerkingen en commentaar staan op deze plek.
Ik heb geen ervaring met wiskunde op het vmbo, dus ik zag eigenlijk voor het eerst zo’n examen. Wat getest werd was een mix van elementaire rekenvaardigheden (soms was optellen/aftrekken/vermenigvuldigen/delen genoeg) en wat moeilijker zaken zoals goniometrie en meetkunde, en werken met exponentiele zaken. Allemaal dingen waarvan je zou willen dat iedereen wat kaas van gegeten heeft.
Waar ik niet helemaal achter kwam is hoe de sommen gedaan zouden moeten worden; het correctievoorschrift was daarvoor te summier. Mijn oplossingen zijn waarschijnlijk niet standaard.
Eindexamen wiskunde B vwo 2021-5-17
Het eindexamen wiskunde B (vwo) werd gisteren afgenomen. De opgaven te vinden op examenblad.nl
Ik heb het examen gemaakt en van opmerkingen voorzien de uitwerking is te vinden op mijn website. Het leek mij goed te doen.
Lariekoek? I
Dit is de vierde in een korte serie blogposts naar aanleiding van een discussie op twitter over dit stuk op Neerlandistiek.nl van Marc van Oostendorp dat zelf weer een reactie op dit artikel van Paul Postal was. In de eerste post kwalificeerde ik een opmerking uit het stuk van Postal als lariekoek. Daar gaat deze post over.
De opmerking van Postal betreft de grootte van de `collectie’ van alle boeken in een taal. Die collectie is niet alleen oneindig groot, niet alleen overaftelbaar, maar zelfs groter dan elke denkbare verzameling. Voor (een idee van) het bewijs van deze bewering verwijst Postal naar het artikel Sets and Sentences en een boek, The Vastness of Natural Languages, beide geschreven door hemzelf en D. Terrence Langendoen.
Ik heb wat met verzamelingen en wilde daarom wel eens zien waarom de collectie boeken in een Natuurlijke Taal zo groot moest zijn. Het boek heb ik niet te pakken kunnen krijgen maar deze recensie beweert dat de kern van de inhoud al in het artikel staat. laten we dat artikel dan maar eens bekijken.
Het artikel bestaat uit drie delen: een korte inleiding, een deel waarin “naar analogie met Cantors’s resultaten” wordt beargumenteerd dat de zinnen in een natuurlijke taal geen verzameling vormen, en een deel met conclusies.
Dat tweede deel begint met wat definities die het beschrijven van constructies van nieuwe `zinnen’ uit oude mogelijk moeten maken. Het hoofdingrediënt is dat van een conjunct, dat is een eenheid die bestaat uit een connectief en een deelconjuct. Die conjuncties kunnen in/tot `co-ordinate compound constituents’ samengevoegd worden. Zo’n co-ordinate compound moet wel echt `compound’ zijn en dus uit ten minste twee conjuncten gevormd worden.
Vervolgens spreken de schrijvers af hoe uit een verzameling U van constituents een co-ordinate compound constituent T gemaakt kan worden; of beter: hoe we kunnen zien dat T uit U gemaakt is. Elke conjuct in T heeft een element van U als deelconjunct, elk element van U is deelconjunct van precies één conjuct van T, en de conjuncten in T zijn geordend (daarover later meer).
In dit geval is T een `co-ordinate projection‘ van U, en U is de `projection set van T. Let op het gebruik van `een’ en `de’ in de vorige zin.
Ik kan begrijpen dat dit allemaal nogal abstract overkomt en ik moest het zelf een paar keer lezen voor ik dacht door te hebben wat er aan de hand is. Achter al die termen zitten plaatjes als het onderstaande verscholen:
De verzameling U bestaat uit de constituents `Marc’ en `KP’; uit elk element van U kunnen we een conjunct maken door er een connectief aan vast te plakken. Dat connectief kan leeg zijn, zoals bij `Marc’ omdat, bijvoorbeeld, je aan het begin van een zin geen voegwoord gebruikt en toch iets nodig hebt om je conjuct te markeren. Daar nemen we dan ∅ maar voor. In de woorden van Langendoen en Postal: C1 en C2 zijn de dochters van T, die zusters zijn elk een conjuct, bestaande uit een connectief en een deelconjuct.
De hoofdaanname, of het hoofdaxioma, is nu dat elke verzameling constituents tot een co-ordinate compound constituent gevormd kan worden. De (co-ordinate compound) constituents waar we het verder over zullen hebben zijn gewoon zinnen, en daarom zal ik ze verder ook maar zo noemen.
Om te beginnen maken we oneindig veel zinnen:
- De reële rechte is overaftelbaar
- Ik weet dat de reële rechte overaftelbaar is
- Ik weet dat ik weet dat de reële rechte overaftelbaar is
- Ik weet dat ik weet dat ik weet dat de reële rechte overaftelbaar is
- …
Niet erg opwindende zinnen maar daar gaat het niet om: er is een duidelijke procedure die voor elk natuurlijk getal n een zin Z(n) construeert. Dit is een voorbeeld van een recursieve definitie: als we een beginobject beschrijven en een recept aangeven om elk volgende object te maken dan beschouwen we de constructie als voltooid.
Voor elke deelverzameling U van deze verzameling {Z(n):n∈N} van zinnen bestaat er dus een zin waarvan de deelconjucten precies de zinnen uit U zijn. Dat geeft ons dan overaftelbaar veel zinnen.
Daarmee is het hek van de dam: we kunnen blijven doorgaan en elke deelverzameling van de nieuwe verzameling zinnen weer samensmeden tot een nieuwe zin. En weer, en weer, en weer, …
De conclusie van Langendoen en Postal is nu dat alle zinnen die we zo kunnen maken geen verzameling vormen. Hier komt de analogie met Cantor’s resultaten om de hoek kijken. Cantor bewees namelijk dat elke verzameling strikt meer deelverzamelingen heeft dan elementen. Als je dit toepast op `de verzameling van alle verzamelingen’ kom je in de knoop: de elementen van die `verzameling’ zijn precies zijn deelverzamelingen, maar dat kan niet omdat er meer deelverzamelingen dan elementen zijn. De entiteit `de verzameling van alle verzamelingen’ bestaat dus niet.
Dezelfde redenering is nu van toepassing op `de verzameling van alle zinnen in een natuurlijke taal’: elke deelverzameling bepaalt een zin en verschillende deelverzamelingen bepalen verschillende zinnen en dat druist in tegen de conclusie van Cantor: altijd strikt meer deelverzamelingen dan elementen.
Waarom Lariekoek?
Waarom denk ik dat dit lariekoek is? Dat heeft vooral te maken met de manier waarop Langendoen en Postal hun `bewijs’ presenteren. Daar is wiskundig veel op af te dingen. Maar deze post is al behoorlijk lang en ik bewaar mijn wiskundige opmerkingen, bijvoorbeeld over de bovengenoemde ordeningen daarom maar voor deel twee.
BMI en de divergentiestelling? Nou, nee.
Op de wisfaq een vraag: Wat is de link tussen de BMI en de divergentiestelling? Die link is er niet.
Even recapituleren:
- De body mass index (BMI) of Quetelet index van personen is hun massa gedeeld door het kwadraat van hun lengte, in kg/m2.
- De divergentiestelling verbindt twee integralen, de een over een lichaam, de ander over de rand van dat lichaam. Losjes gesproken laat het zien welke functie zorgt voor de productie van hetgeen via een vectorveld door de rand naar buiten ontsnapt.
Wat hebben die twee met elkaar te maken? Nou, niks. Je zou denken dat het iets met warmtestroming door de huid en de productie van energie in het lichaam te maken zou kunnen hebben maar de eenheden kloppen daarvoor van geen kant.
De geschiedenis van de BMI laat echter nog veel duidelijker zien dat er geen verband is. Het de zin en onzin van de BMI is tien jaar geleden al mooi door Keith Devlin beschreven in Do You Believe in Fairies, Unicorns, or the BMI?; ik heb daar niets aan toe te voegen.
Een belangrijk citaat uit Devlin’s stuk: “The BMI was formulated, by a mathematician, not a medical physician, to provide a simple, easy-to-apply mathematical formula to give a broad, society-level measure of weight issues. It has absolutely no scientific or medical basis. It is based purely on a crude statistical analysis. It measures a general society trend, it does not predict.” Daar is dus geen divergentiestelling aan te pas gekomen.
Een vierkante seconde
Een tip voor een niet-standaard uitstapje in Delft: ga een vierkante seconde bekijken.
Delft heeft een mooie binnenstad maar in de buitenwijken kun je ook aardige dingen zien. Neem tram 1 richting Tanthof, stap uit bij de halte Van der Slootsingel, loop de straat met die naam helemaal uit en ga dan rechtsaf het park Buitenhof in. Op een zacht glooiende helling ligt het, een kunstwerk met de naam Een Vierkante Seconde. Je moet echt de helling op want anders zie je de stenen die het vierkant vormen niet.
Waarom `vierkante seconde’?
Als je nauwkeurig wil aangeven waar je bent dan geef je je coördinaten door met behulp van het systeem dat daar al een paar eeuwen voor gebruikt wordt: lengte- en breedtegraden. Op de aarde zijn (denkbeeldig) twee stelsels lijnen getrokken: van de noord- naar de zuidpool (meridianen), en loodrecht daarop, evenwijdig aan de evenaar dus (parallellen).
De meridiaan die door the Royal Observatory in Greenwich loopt heet de nulmeridiaan; samen met de evenaar vormt hij een soort assenkruis, met de evenaar als x-as en de nulmeridiaan als y-as.
Het snijpunt van de nulmeridiaan en de evenaar is de oorsprong. In plaats van x- en y-coördinaten spreken we van, respectievelijk, lengte en breedte en in plaats van positief of negatief zeggen we ooster- en westerlengte, en noorder- en zuiderbreedte.
De eenheid die gekozen is om lengte en breedte uit te drukken is de graad; dat is natuurlijk omdat alle lijnen (delen van) cirkels zijn. Dat is ook handig omdat de parallellen niet allemaal evan lang zijn: de `parallel’, bijvoorbeeld, aan de noordpool bestaat uit maar één punt.
Beide assen zijn in graden verdeeld. De evenaar in twee keer 180 graden: west en oost, als je de nulmeridiaan doortrekt krijgt je de meridiaan op 180° west en oost. De nulmeridiaan is in twee keer 90° verdeeld, noord en zuid.
Nu is nulmeridiaan van de evenaar tot de noordpool 10.000 km lang (per definitie) en dus is één graad ongeveer 111 km lang. Dat is nog vrij veel en daarom zijn de graden weer in 60 mminuten verdeeld, die 60 is een overblijfsel van de 60-tallige schrijfwijze voor getallen uit het oude Babylon. Een minuut langs de nulmeridiaan is ongeveer 1850 m lang; en dat is nu net de definitie van een zeemijl.
De minuten zijn zelf weer in 60 seconden verdeeld en een seconde langs de nulmeridiaan is dus zo’n 30 m lang.
Langs de parallellen worden de graden, minuten en seconden steeds korter. Als je in Park Buitenhof aankomt en het kunstwerk bekijkt zul je zien dat het er niet als een vierkant van 30 bij 30 meter uitziet. Je kunt aan het kunstwerk Geografische Plaatsbepaling Delft (dat is de officiële naam) zien hoeveel korter een seconde op onze breedte geworden is. Het kunstwerk is namelijk een vierhoek die door twee parallellen en door twee meridianen begrensd is.
Op de foto’s van de vier hoeken kun je zien welke lijnen dat zijn:
- de meridianen op
- 04° 20′ 07” O. L. en
- 04° 20′ 08” O. L.,
- en de parallelen op
- 51° 59′ 29” N. B. en
- 51° 59′ 30” N. B.
Ik ben de hele vierhoek rondgelopen; in de noord-zuidrichting had ik dertig stappen nodig en in de oost-westrichting maar negentien.
 |
 |
 |
 |
Voor de wiskundigen: Welke functie bepaalt de lengte van een seconde langs een parallel? Kloppen mijn gemeten lengten ongeveer?
Andere zaken
In het blad Pythagoras is ook al eens een stukje over de vierkante seconde verschenen. Naar aanleiding hiervan ontdekte ik dat je op moet passen als je met een GPS-apparaat in de hand op zoek gaat naar het kunstwerk. Toen de vierhoek werd gelegd (1970) gebruikte men in Nederland het systeem ED50, sindsdien is het systeem WSG 84 in gebruik genomen. Het verschil tussen die systemen is ongeveer 100 meter; met een apparaat dat op WSG 84 is ingesteld loop je het risico in een van de sloten rond het park terecht te komen. In dit document kun je meer lezen over het omrekenen tussen de twee systemen.
In een video van Ionica Smeets over de vierkante seconde wordt hier voor gewaarschuwd. Naar aanleiding van die video is er een Geocache bij het kunstwerk gemaakt.
Op de Kunstwachtwebsite kun je ook over Geografische Plaatsbepaling lezen. En op de website van een van de makers, Nelis Oosterwijk, kun je wat ontwerpschetsen zien.
Recent Comments