Posts in category Uncategorized

Ik heb het examen gemaakt en van commentaar voorzien.

De opgaven zijn te vinden op examenblad.nl. Hier zijn mijn uitwerkingen en commentaar. Ik vond het iets minder opwindend dan het eerste examen. Het grootste gedeelte van de tekst bij de-som-met-een-toepassing had niets met de opgave zelf te maken.

De tafel van oneindig heeft te maken met vermenigvuldigen. We eerst even kijken hoe dat ook al weer werkt.

We doen niet al te moeilijk en bekijken 2×3. Dat product kun je tekenen: een rechthoek die 2 breed is en 3 hoog.

Als we de stippen tellen zien we dat 2×3=6. Je kunt die stippen dus op een rijtje leggen:

Dat kan op verschillende manieren; ook op deze manier:

In beide gevallen krijg je een mooi rijtje van zes stippen.

Je kun dit naspelen met chocoladehagel, of M+M’s: als je 3×5 wilt bepalen maak je een rechthoek met vijf blauwe in de eerste kolom, dan vijf rode, en dan nog vijf groene. Die kun je dan mooi op één lijn leggen naast vijftien oranje M+M’s

Met dit soort plaatjes gaan we volgende keer de tafel van oneindig maken.

Op Facebook, in de groep Leraar Wiskunde, kwam een vraag langs die een mooi excuus oplevert voor een wat algemenere beschouwing over definities.

Perforaties

De vraag ging over perforaties in grafieken van functies. Een perforatie is een gat in de grafiek dat gedicht kan worden op zo’n manier dat de functie continu wordt in dat punt. Dit was de informele definitie.

De formele definitie werd in de vraag uit een leerboek geciteerd: de grafiek van f heeft een perforatie in (a,b) als f(a) niet bestaat en als de limiet van f(x) voor x nadert tot a gelijk is aan b. Verder kwam een voorbeeld uit het boek ter sprake waarin duidelijk aan deze definitie werd voldaan. Einde verhaal zou je zeggen. Ware het niet dat de vraagsteller vond dat er `gevoelsmatig’ meer aan de hand zou moeten zijn. Ik heb het voorbeeld nagetekend.

De functie is links en rechts van 2 door verschillende formules gegeven en f(2) is expliciet niet gedefinieerd. Aan de eerste eis is voldaan: f(2) bestaat niet. Verder zijn linker- en rechterlimiet snel bepaald, ze zijn gelijk aan 2. Daar is de tweede eis: de limiet is gelijk aan 2. We hebben een perforatie in (2,2). De vraagsteller vond (`gevoelsmatig’) dat eigenlijk de linker- en rechterlimieten van de afgeleide ook aan elkaar gelijk zouden moeten zijn.

Definities

De discussie onder de vraag ging eigenlijk meer over wat een perforatie zou moeten zijn in plaats van wat het eigenlijk is. Wat aan het geciteerde boek valt te prijzen is dat er een definitie gegeven is. En die definitie is een minimale exacte beschrijving van: “er zijn een gat in de grafiek dat bij opvulling de functie in dat punt continu maakt”. De eis dat f(a) niet bestaat is de vertaling van “er is een gat” en de eis dat de limiet bestaat vertaalt “bij opvulling wordt de functie continu in dat punt”.
In een paar andere bronnen vond ik niet meer dan een definitie door voorbeeld: “als wat hier gebeurt elders ook gebeurt spreken we van een perforatie”.

Het voordeel van de definitie uit het boek is dat deze kort en krachtig is en daardoor ook zonder omhaal te verifiëren. In de discussie op facebook kwamen wel bezwaren naar voren maar die waren denk ik ingegeven door non-definities als die uit de andere bronnen. In de voorbeelden was vaak meer aan de hand: de functies was bijvoorbeeld een rationale functie waarin de kandidaat-perforaties onder de nulpunten van de noemer gezocht werden en door gemenschappelijke factoren in teller en noemer geïdentificeerd konden worden. En `eigenlijk’ zouden alle perforaties er zo uit moeten zien.

Maar de kracht van de meeste wiskundige definities is juist het kernachtige ervan. Bolzano had een definitie van continuïteit die heel dicht bij de huidige kwam en die is met ε en δ en al afkomstig van Weierstrass. Die definitie bleek echt het wezen van de continuïteit te vangen: hij geeft ons de Tussenwaardestelling (van Bolzano) en de het bestaan van extremen op gesloten intervallen (Weierstrass).

De definitie laat ook schijnbare uitwassen toe met als de mooiste voorbeelden (voor mij) de nergens differentieerbare functies van Weierstrass en Peano’s vlakvullende kromme. Hermite moest er niets van hebben, zoals hij aan Stieltjes schreef: “Je me détourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions continues qui n’ont point de dérivées …”.

De moraal: de taak van een definitie is de kern van de zaak samen te vatten. Dat doet de definitie van perforatie prima, en met niet meer dan echt nodig is.