Posts in category Bernard Bolzano
What is a set? (revisited)
This is an addendum to the first in a short series of blog posts intended to explain the terms in red in the following sentence, that succinctly describes the Continuum Hypothesis.
There is no set whose cardinality is strictly between that of the integers and the real numbers.
These are, in the words of John Lloyd, the bits that he does not understand.
The gist of the post referred to above was that, very strictly speaking, sets have no proper mathematical definition. The definitions that were quoted from the works of Bolzano and Cantor were, to a large extent, by synonym: “a set is a collection …”. The ellipsis would contain some conditions what the collection should satisfy to be deemed a set. But the definition would be incomplete because `collection’ remained undefined. Many definitions in mathematics suffer from a similar `defect’: at some point there is a primitive notion that is not further defined. In most every branch of mathematics that primitive notion turns out to be `set’ in some form or another.
That looks bad: Mathematics seems to be based on a badly defined notion. However not all is lost. Most of the time we know exactly what we are talking about. It is true that `collection’ is undefined but, as mentioned in the original post, we recognize one when we see one and in Mathematics we are very particular about how we work with them.
By way of example consider the books currently in our house. They form a well-defined collection: it is very clear which books are in that collection and which books are not. That collection forms what Bolzano and Cantor consider to be a set. It has an unambiguous definition. Just like the set of books in our house that have exactly 250 pages: everyone that we to gather `the books with exactly 250 pages’ will come back with the same collection. And the unambiguity separates the sets from the arbitrary collections. If I were to ask John Lloyd to gather the interesting books in our house he would most likely come out with a different collection than I would. The phrase `the interesting books in our house’ does not define a set.
What determines a set in mathematics is the unambigiuty of its definition: no matter who we set the task of determining what is in it, the answer should always be the same. That does not mean that that task is easy or doable in a (very) short time. The prime numbers form a set, a subset of the set of natural numbers, and for every individual natural number it is straightforward to determine whether it is prime or not, but separating them from the other natural numbers by hand is not an option.
Because of this and other examplese have developed the curly-braces notation for sets.
P = {n : n is a prime number}
is a properly defined set and for every natural number n we can decide whether n∈P (`n is in P’) or not.
And that is how mathematicians consider sets: as collections where membership can be checked unambiguously. Thus the advisoy committee of Episode 2, series 10 of the Museum of Curiosity forms a set, the funny members of that committee most likely do not. There is, alas, no unambiguous definition of `funny’.
What is a set?
This is the first in a short series of blog posts intended to explain the terms in red in the following sentence, that succinctly describes the Continuum Hypothesis.
There is no set whose cardinality is strictly between that of the integers and the real numbers.
These are, in the words of John Lloyd, the bits that he does not understand.
Sets pervade mathematics. Basically every definition of a mathematical structure contains the phrase “… a set such that …”. The language and tools of Set Theory generally make it possible to formulate results efficiently.
It may therefore come as a bit of a surprise that the question “What is a set?” does not have a straightforward answer. That sounds strange because we generally recognise a set when we see one: thimbles, forks, railway-shares …,(but not care, hope and soap) you name it, someone will have a set (collection) of it.
However, in Mathematics we like precise definitions, so that at every moment it is clear what we are talking about. A word of warning is needed here, nicely illustrated by this quote from Goethe.
1005. Die Mathematiker sind eine Art Franzosen; redet man mit ihnen, so übersetzen sie es in ihre Sprache, und dann ist es alsobald ganz etwas anderes.
Johann Wolfgang von Goethe, Maximen und Reflexionen, Nachlass, Über Natur und Naturwissenschaft
I do not have the illusion to know what Goethe actually meant to say with this and further study of his work may reveal that, but for me this quote is very apt all by itself. Many definitions of mathematical notions do not conform to the expectations of non-mathematicians. Things that are nigh on synonymous in the dictionary may have rather different meanings in mathematics.
To define what a set is we turn to two pioneers of the study of the infinite, Bernard Bolzano and Georg Cantor.
In his Paradoxieen des Unendlichen Bolzano wrote this on page 4, after a short introduction wherein he exlained the need for a definition of Menge.
Einen Inbegriff, den wir einem solchen Begriffe unterstellen, bei dem die Anordnung seiner Teile gleichgültig ist (an dem sich also nichts für uns Wesentliches ändert, wenn sich bloß diese ändert), nenne ich eine Menge;
In the translation of this work by Donald A. Steele and the above definition is rendered as follows.
An aggregate whose basic conception renders the arrangement of its members a matter of indifference, and whose permutation therefore produces no essential change from the current point of view, I shall call a set (Menge),
The very first words written by Georg Cantor in his Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre are
Unter einer ,Menge` verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objecten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ,Elemente` von M genannt werden) zu einem Ganzen.
In Zeichen drücken wir dies so aus:
M={m}
In the translation by Philip E. B. Jourdain we find:
By an “aggregate” (Menge) we are to understand any collection into a whole (Zusammenfassung zu einem Ganzen) M of definite and separate objects m of our intuition or our thought. These objects are called the “elements” of M.
In signs we express this thus:
M={m}
I think it is no coincidence that the notion `Menge’ was defined during investigations of the notion of `infinite’. At that moment the relations between the individuals that make up the whole are of secondary importance. And at some point one chooses one out of many synonyms &mdsah; collection, multitude, Mannigfaltigkeit, aggregate, set, verzameling, &hellip — and that becomes that name of the basic object of investigation.
If you read the definitions closely then you will see that they, strictly speaking, define nothing: both use a synonym, Inbegriff or Zusammenfassung, as a definition. However, Bolzano explicitly adds a condition (and Cantor does so implicitly, as witnessed by the rest of his paper) that was also mentioned above: the relations, if any, between the elements of the sets are not important. A few paragraphs before the definition Bolzano used the example of a broken tumbler; we tend to view that as different from that same tumbler before it was broken because the relations between the constituents have changed, as a set — of atoms, molecules — it has not changed.
It is this condition that tell us what the goal of Bolzano and Cantor undoubtedly was: delineate as sharply as possible about which objects they make their pronouncements. Bolzano’s definition was the summary of a long run-up where he discussed what properties a Menge should have. Cantor jumped right in because he had been considering sets for two decades already.
On a naïve level these definitions are quite workable because all that happens is that certain entities now have the label `set’ applied to them. Something like {1,2,3,4,5} is recognised by everyone as a “the set of natural numbers from 1 through 5”. And also sets with a description like {n ∈ N : n ≤ 10100} is fine, provided we have learned some of the language of mathematics. Here ∈ means `is element of’, ≤ means `less than or equal’ and N represents the set of natural numbers.
Mathematics differs from `daily life’ in one seemingly innocuous point: mathematicians give set status to a few things that some people do not recognise as sets. The empty set and sets with (exactly) one element are perfectly acceptable mathematically. But, if I were to tell you that I have a set of stamps and show you an album without any in it you would not consider me a stamp collector, nor if a were to show you just one stamp (right before I stick it on an envelope).
Mathematically speaking these are legitimate sets and they are also quite necessary because it would become quite cumbersome to exclude them as results of operations on sets. Think of equations. Very often we speak of solution sets and that would suddenly be illegal is the equation had no or just one solution? Really?
But still, this all assumes that we recognize a set when we see one: a collection of things thrown together between curly braces for a certain purpose. It’s the thirteen cards in your hand at bridge before you inspect and order them; it’s the points on a line where it is immaterial which point lies to the left or right of another point. All this does not tell us what a set is. For that we should define first what a collection is …
So, where does that leave us? The tools and language of Set Theory pervade mathematics and are quite powerful, yet we do not have a fully satisfactory definition of what a set actually is. For day-to-day mathematics that is no big problem because, as I said above, we recognise many familiar entities as `sets’ and treat them as such.
But what about those of us who want to know what a set really is? Who do not want to `recognise a set when they see it’? Well, we can satisfy them by setting up Set Theory purely logically and thus define what our objects are. The resulting `sets’ are not quite like those we learned to recognise but every one of our familiar sets has a faithful logical copy. This means that we can, with a bit of care, keep on using sets in the naïve way we have always done.
We may come back to that logical approach in a later post.
Exacte oplossingen
Een veel voorkomende vraag op de wisfaq is: “Hoe los ik … op?” Op de plaats van de puntjes staat dan een vergelijking die maar niet tot een mooie oplossing wil leiden, zoals bijvoorbeeld -x2+4x-3 = sin(x). Het antwoord op de vraag is vaak: “Het kan niet exact, doe maar een numerieke benadering.” Maar wat betekent `exact’ eigenlijk?
Heel veel wiskundesommen komen uiteindelijk neer op het oplossen van een vergelijking, het invullen van een of meer getallen in een of andere uitdrukking, en/of het daarna vereenvoudigen van de uitkomst tot …, tot wat eigenlijk? Tot een compacte overzichtelijke uitdrukking waarvan wellicht ook makkelijk te controleren of het een oplossing van het probleem is. Wat een compacte overzichtelijke uitdrukking is varieert met de tijd. Het begint met natuurlijke getallen; een antwoord als `3′ is duidelijk en je kunt waarschijnlijk natellen of het klopt. Vrij snel komen (positieve) breuken bij het verdelen van dingen (traditioneel taarten) over personen: drie taarten over vijf personen eerlijk verdelen levert iedereen 3/5 taart op. Nog later komen er negatieve getallen bij, meestal uitgelegd als `schuld’.
Dat is allemaal nog redelijk overzichtelijk maar dan wordt het spannender: als je een vierkant met een oppervlakte van 2 m2 wilt maken dan heb je niks aan al die breuken, positief of niet. Om praktische redenen is het wel gewenst de lengte van de zijden van dat vierkant te benoemen, en dat heeft geleid tot een van de eerste afkortingen die je bij de wiskunde leert: √2. Dat getal is echt nieuw, niet te weer te geven als een breuk. Er is zelfs een heel Zebraboekje aan √2 gewijd.
Het interessante is dat na verloop van tijd dat symbool √ heel vertrouwd wordt en dat we het accepteren als ingredient in die `compacte overzichtelijke’ uitdrukkingen. Met de abc-formule als eerste hoogtepunt. Ondanks het feit dat √D niet meer is dan een afkorting van “het positieve reële getal waarvan het kwadraat gelijk is aan D”.
Een andere bekende afkorting is natuurlijk π: de verhouding tussen omtrek en diameter van een cirkel. Ook π is niet als breuk uit te drukken, erger nog: met π is algebraïsch helemaal geen goed garen te spinnen. Maar π komt in zoveel uitkomsten en formules voor dat het onderhand een vertrouwde vriend geworden is.
Op de middelbare school en later stijgt het aantal `vertrouwde vrienden’ snel, via allerlei nieuwe functies als sinus, cosinus, e-macht, logaritme, … Zo is de lengte van het stukje van de parabool met vergelijking y=x2 tussen de punten (0,0) en (1,1) gelijk aan
en niemand knippert met de ogen. Als je de echte betekenis van die uitdrukking wilt achterhalen zul je vrij diep de wiskunde in moeten duiken want hij hangt van afkortingen aan elkaar.
Even terug naar de vergelijking aan het begin. Heeft die vergelijking wel oplossingen? Ja, daar kun je je van overtuigen door de grafieken van het linker- en rechterlid even te schetsen; je ziet dan dat er een intervalletje is waarop -x2+4x-3 groter is dan sin(x) en de eindpunten van dat intervalletje zijn de oplossingen van de vergelijking. Is er een formule voor de linkeroplossing? Ja:
deze komt direct uit het bewijs van de tussenwaardestelling. Die stelling zegt dat dat minimum bestaat, noem het even a, en dat a daadwerkelijk aan de vergelijking voldoet. Voor wie dit geen mooie formule vindt, bedenk dan dat √2 niets meer is dan een afkorting voor
hetwelk volgens diezelfde tussenwaardestelling bestaat.
Met a en √2 is goed te werken; je kunt ze in allerlei uitdrukkingen stoppen en die weer proberen te vereenvoudigen. In het geval van √2 vervang je telkens (√2)2 door 2; probeer maar eens aan te tonen dat
Wat a betreft: telkens als je sin(a) ziet kun je daar -a2+4a-3 van maken (of omgekeerd); dat gebeurt niet zo vaak en daarom zal a lang niet zo vertrouwd worden als √2 dat al eeuwen is.
Los op. Of toch niet?
Een aardige vraag op de wisfaq die laat zien dat een opgave goed lezen ook belangrijk is.
De vraagsteller had moeite met deze vraag:
“Toon aan dat er een reëel getal t bestaat zodat voor de functie g(x)=(x-a)2(x-b)2+x geldt dat g(t)=(a+b)/2.”
Het oplossen van de vergelijking (t-a)2(t-b)2+t=(a+b)/2 lukte niet helemaal.
Maar hoogstwaarschijnlijk was het helemaal niet de bedoeling die vergelijking op te lossen: de opgave was namelijk “toon aan dat zo’n t bestaat”, niet “bepaal zo’n t”. Dat de vraagsteller een student van een universiteit is suggereert dat het hiet om een toepassing van de Tussenwaardestelling gaat. Die stelling spreekt voor velen bijna voor zichzelf maar een van de eersten, zo niet de eerste, die doorhad dat er iets te bewijzen was was Bernard Bolzano. In een artikel met de welluidende titel Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes daß zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzetes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege legde hij uit dat de volgende stelling wel degelijk een bewijs nodig had:
Laat f en φ twee continue functies zijn en a en b twee reële getallen zo dat f(a)<φ(a) en f(b)>φ(b); dan ligt er een getal c tussen a en b met f(c)=φ(c)
In een tijd dat `continu’ meetkundig werd geïnterpreteerd als `de grafiek is een ononderbroken kromme’ leek het duidelijk dat de grafieken van f en φ elkaar tussen a en b zouden moeten snijden. Bolzano waste zijn tijdgenoten grondig de oren over deze misvatting; hij wilde een echt analytisch bewijs en geen `kijk maar, er is een snijpunt’. Bolzano had namelijk ook al door dat niet elke continue functie een makkelijk te tekenen grafiek had: hij heeft ook een van de eerste continue nergens differentieerbare functies geconstrueerd. In het artikel van Bolzano vinden we een analytische definitie van continuïteit en een bewijs van de tussenwaardestelling dat zo in de huidige boeken opgenomen kan worden (en eigenlijk opgenomen is).
Met deze stelling in de hand is de opgave zo opgelost: voor de functie van de vraag geldt g(a)=a en g(b)=b; het getal gemiddelde (a+b)/2 van a en b ligt tussen a en b, dus toepassing van Bolzano’s stelling met g en de constante functie ψ met waarde (a+b)/2 levert het bestaan van een t tussen a en b met g(t)=(a+b)/2.
Overigens kan de vergelijking wel opgelost worden: er is een oplosformule voor de vierdegraadsvergelijking maar die staat vrijwel nergens op het programma van een analysecursus.
Wat is een verzameling? II
We zetten de zoektocht naar het begrip `verzameling’ voort.
In de vorige blogpost hebben we de definities die Bolzano en Cantor van `verzameling’ gaven geciteerd. Die kwamen eigenlijk neer op “een verzameling is een verzameling”. Nu is het nogal lastig om een definitie van verzameling in woorden op te schrijven zonder te vervallen in synomiemen maar het kan wel.
Rond de eeuwisseling (die van 1900) begon men ernstig over de aard van definities na te denken. De eerste stap was het vastleggen van de taal waarin die definities vastgelegd zouden worden. En met `taal’ bedoelde men niet zoiets als Grieks, Latijn, of Swahili maar een meer formele constructie. Deze gaat uit van een beperkt aantal symbolen. Sommige zijn algemeen, zoals ∧ (en), ∨ (of), ¬ (niet), ∀ (voor alle) ∃ (er is) enzovoort; en sommige zijn specifiek voor het onderhavige onderdeel van de wiskunde, in de verzamelingenleer kunnen we toe met ∈ (is element van) en = (is gelijk aan).
In deze taal kunnen we vrijwel alles beschrijven wat we willen. De taal is sterk genoeg om dingen als
- “x is een priemgetal”
- “x is een reëel getal”
- “x is een rechte lijn in het vlak”
en nog veel meer uit te drukken. Op deze manier kunnen we afspreken dat we iets alleen een verzameling noemen als het bestaat uit x-en met een eigenschap die in onze taal is uit te drukken. Dus
{x : x is een priemgetal}
is een verzameling (waarbij “x is een priemgetal” in de taal is geformuleerd). Dit komt vrij dicht in de buurt van Cantor’s definitie van verzameling: de accolades {} representeren de `Zusammenfassung zu einen Ganzen’, en we hebben `Annschauung’ en `Denken’ vervangen door `beschrijfbaar in de taal’.
De lege verzameling ∅ is uit te drukken door {x : x≠x} en telt dus mee als verzameling. Andere dingen leken iets dubieuzer, zoals {x : x=x}, de verzameling, V, van alle verzamelingen(?). Die gaf aanleiding tot een paradoxale toetand: Cantor had bewezen dat elke verzameling strikt minder elementen dan deelverzamelingen heeft (zie deze en de daarop volgende post voor de betekenis van meer en minder), maar voor deze V geldt dat niet, want elke deelverzameling is automatisch ook een element.
De oplossing, van Cantor, was onderscheid te maken tussen gewone en `oneigenlijke’ verzamelingen. En V was dus oneigenlijk; te groot om als gewone verzameling mee te tellen. Dat dit niet de schoonheidsprijs verdient lijkt me duidelijk want wie bepaald wat gewoon en oneigenlijk is?
Het kon nog erger: Bertrand Russell schreef de volgende verzameling, R, op: {x : x∉x}. Deze R leidt tot een wel heel eenvoudige paradox/tegenspraak, namelijk “$R∈R dan en slechts dan als R∉R”. Hier zijn geen diepe stellingen voor nodig; de afspraak hierboven was vanaf het begin al dubieus.
De uiteindelijke oplossing kwam van Ernst Zermelo. Deze formuleerde een een lijst axioma’s (spelregels) die we in acht moeten nemen als we met verzamelingen omgaan. Deze geven vooral aan hoe nieuwe verzamelingen uit oude gevormd kunnen/mogen worden. Die regels zijn redelijk natuurlijk; zo mogen we, gegeven twee verzamelingen x en y de verzameling {x,y} vormen.
Een van de belangrijkste regels is het Afscheidingsaxioma; dit zwakt onze eerste beschrijving wat af. Als x een gegeven verzameling is en φ is een formule in onze taal dat is {y:y∈x ∧ φ} weer een verzameling. Het verschil is dus dat we al een verzameling moeten hebben en daarbinnen elementen met een bepaalde eigenschap bijeen nemen.
Wat voor veel mensen in begin nog even wennen is is dat elk individu waar uitspraken over worden gedaan een verzameling is. Dus de elementen van verzamelingen zijn zelf ook weer verzamelingen enzovoort. Dat impliceert ook dat dingen als natuurlijke en reële getallen beschrijvingen krijgen die niet lijken op wat we gewend zijn maar dat went uiteindelijk wel.
Maar goed, dit leidt dan tot de volgnde definitie van verzameling: iets waarvan het bestaan uitgaande van de axioma’s te bewijzen is.
En wat dan allemaal uitgaande van die axioma’s mogelijk is kunt u in elk boek over Verzamelingenleer lezen en ook in het dictaat van de cursus Verzamelingenleer die ik zelf gegeven heb.
Wat is een verzameling? I
De Wiskunde is doordrenkt van verzamelingen. Nagenoeg elke definitie van een te bestuderen structuur — groep, graaf, interval, … — begint met “een verzameling die …”. De taal en de methoden van de Verzamelingenleer helpen dan ook vaak bij het efficiënt formuleren en noteren van resultaten.
Hierbij gaat men voor het gemak voorbij aan het feit dat de vraag “Wat is een verzameling?” nog niet beantwoord is. Dat klinkt merkwaardig want we herkennen een verzameling wel als we er een zien: postzegels, boeken, vingerhoedjes, …, je kunt het zo gek niet bedenken of iemand heeft er wel een verzameling van.
Echter, in de Wiskunde houden we van precieze definities, zodat op elk moment duidelijk is waar we het over hebben. Hier is een waarschuwing op zijn plaats, mooi geïllustreerd door het volgende citaat
1005. Die Mathematiker sind eine Art Franzosen; redet man mit ihnen, so übersetzen sie es in ihre Sprache, und dann ist es alsobald ganz etwas anderes.
Johann Wolfgang von Goethe,
Maximen und Reflexionen, Nachlass, Über Natur und Naturwissenschaft
Ik heb niet de illusie te weten wat Goethe hier zelf mee bedoelde en door nadere bestudering van zijn is dat wellicht te achterhalen maar ik vind de uitspraak op zichzelf al treffend genoeg. Veel definities van wiskundige begrippen beantwoorden niet aan het idee dat de niet-wiskundige er van heeft.
Hoe zit dat met het begrip `verzameling’? Hoe kijken we daar wiskundig tegenaan. Een van de eersten die een definitie van `verzameling’ formuleerde was Bernard Bolzano.
Einen Inbegriff, den wir einem solchen Begriff unterstellen, bei dem die Anordnung seiner Theile gleichgültig ist (an dem sich also nichts für uns Wesentliches ändert, wenn sich bloss diese ändert) nenne ich eine Menge.
Bernard Bolzano,
Paradoxien des Unendlichen (1851)
Een andere definitie vinden we bij Georg Cantor.
Unter einer ,Menge` verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objecten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ,Elemente` von M genannt werden) zu einem Ganzen.
In Zeichen drücken wir dies so aus:M = {m}
Georg Cantor,
Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (Erster Artikel) (1895)
Het is, denk ik, geen toeval dat het begrip `Menge’ gedefinieerd werd bij onderzoek naar het begrip `oneindig’. Op dat moment zijn eventueel gegeven relaties tussen de individuen in het geheel van ondergeschikt belang. Op een gegeven moment kies je uit een hele rij synoniemen — collectie, veelheid, Mannigfaltigkeit, aggregate, set, verzameling, … — er eentje en dat wordt dan de naam van het basisbegrip.
Wie de definities nauwkeurig leest ziet dat ze, eigenlijk, niets zeggen: beide gebruiken een synoniem, Inbegriff en Zusammenfassung, als definitie. Daarbij zegt de definitie van Bolzano expliciet en die van Cantor impliciet wat hierboven al is gezegd: bij een verzameling is de onderlinge relatie van de elementen niet van belang. Vlak voor de definitie gaf Bolzano het voorbeeld van een gebroken glas; dat vinden wij iets heel anders dan hetzelfde glas voor het gebroken was omdat de onderlinge relatie tussen de delen verstoord is, als verzameling — atomen, moleculen — is het niet veranderd.
De definities van Bolzano en Cantor hadden ongetwijfeld het doel zo scherp mogelijk af te bakenen over welke zaken er uitspraken gedaan werden. Bolzano nam daarbij een lange aanloop waarvan de definitie een samenvatting was.
Op een naïef niveau kun je met deze afspraken redelijk uit de voeten omdat er niet meer gebeurd is dan dat bekende gehelen nu het predicaat `verzameling’ opgeplakt hebben gekregen. Iets als {1,2,3,4,5} wordt door iedereen herkend als “de verzameling natuurlijke getallen van 1 tot en met 5”. En ook verzamelingen met een beschrijving als {n ∈ N : n ≤ 10100} herkennen we wel, mits we eerst hebben afgesproken dat N de verzameling der natuurlijke getallen voorstelt.
Waar de wiskunde en de dagelijkse praktijk uit elkaar lopen is bij de kleinste verzamelingen: de lege verzameling en de verzamelingen met één element. Als ik zeg dat ik een postzegelverzameling heb en ik laat een album zonder zegels zien dan gelooft niemand mij, ook niet als ik er één laat zien (vlak voor ik hem op een brief plak).
Wiskundig gesproken zouden dat volstrekt legitieme verzamelingen zijn ook al piept de buitenwacht nog zo hard. Bij het werken met en gebruik van verzamelingen komen die kleine verzamelingen zo vaak voor dat het heel vervelend wordt ze iedere keer uit te sluiten van het verzamelingschap. Denk aan vergelijkingen. Heel vaak wordt daar over de oplossingsverzameling gesproken en dat zou ineens niet mogen als er geen of maar één oplossing is? Kom nou!
Maar goed, dit alles gaat nog uit van de opvatting dat we verzamelingen herkennen als we ze zien. Het vertelt ons nog niet wat een verzameling is. Wat de moderne opvatting van verzameling is zien we volgende keer.
Recent Comments