Daar is-tie weer: de Gulden Snede

Niet uit te roeien, die Gulden Snede: via een stukje op Science Alert kwam ik hier: Mammalian Skull Dimensions and the Golden Ratio.

Wat staat er in dat artikel?
Welnu over je schedel loopt een lijn, van het Nasion (N) naar het Inion (I); op die lijn ligt een punt het Bregma (B) geheten. Op honderd mensenschedels zijn de lengten NI, NB en BI gemeten (niet letterlijk, er is gemeten aan hoge-resolutiescans van schedels). Nu geldt, natuurlijk, NB+BI=NI en verder is het deel BI wat groter dan het deel NB.
Op zoek naar de Gulden Snede hebben de auteurs van elke schedel de verhoudingen NI/BI en BI/NB bepaald. Als B de lijn NI inderdaad volgens uiterste en middelste reden verdeelt, dan verwachten we dat NI/BI gelijk is aan BI/NB.

Na middelen en standaard-deviatie nemen komen de auteurs uit op NI/BI = 1.64 ± 0.04 en BI/NB = 1.57 ± 0.10. In de woorden van de auteurs:
In humans, the ratio of the nasioiniac arc over the parieto-occipital arc (NI/BI = 1.64 ± 0.04) and the ratio of the parieto-occipital arc over the frontal arc (BI/NB = 1.57 ± 0.10) are essentially identical and closely approximate Φ (1.618) within 1 standard deviation.

Ik weet niet wat de lezer denkt maar in vind dat een krasse uitspraak. De gemiddelden liggen nogal ver uit elkaar. Of je nu vanuit 1.64 of vanuit 1.57 rekent, het verschil is relatief meer dan 4%. Dat lijkt me niet `essentially identical’. Ik denk dat de wens hier toch de vader van de gedachte is geweest.

Overigens zijn de opgegeven waarden wel consistent met de betrekking die tussen de verhoudingen moet gelden: door de gelijkheid NB+BI=NI door BI te delen ontstaat de gelijkheid NI/BI = 1/(BI/NB)+1. Om dit iets overzichtelijker te maken noemen we NI/BI even y en BI/NB even x, de gelijkheid wordt dan y=1+1/x. De punten (1.57,1.64), (1.47,1.68) en (1.67,1.60) liggen op een haar na op de grafiek van deze vergelijking.

Deze betrekking verklaart ook de volgende observatie van de auteurs:
Interestingly, the reciprocal of Φ (1/Φ or 1/1.61803…) is 1 integer less than Φ (0.61803…) and has the same decimal extension as Φ, and the square of Φ (Φ² or 1.61803…2) is 1 integer more than Φ (2.61803…) and also has the same decimal extension.
Uhm, ja, nogal wiedes; de verdeling in uiterste en middelste reden dicteert dat Φ aan de gelijkheid Φ=1+1/Φ moet voldoen, en dus ook aan Φ²=Φ+1. Iedere middelbare-scholier die kwadratische functies heeft gezien kan je dit uitleggen.

Ten slotte

Het artikel beslaat negen kolommen; daarvan zijn er vier gevuld met een verslag van de metingen; er is ook aan zes andere zoogdiersoorten gemeten en het lijkt er op dat bij toenemende `complexiteit’ van de soort de verhouding NI/BI daalt en BI/BN dus daalt. De (speculatieve) uitleg is dat gaande de evolutie de schedel op deze manier bij bepaalde kwabben is gaan passen.

Als de auteurs zich nu maar bij deze conclusie hadden gehouden dan was er weing mis geweest met dit artikel. De overige vijf kolommen zijn echter gevuld met niet ter zake doende beschrijvingen van de Gulden Snede, de relatie met de rij van Fibonacci, en het vermeende optreden van dit getal bij allerlei fysiologische en morphologische verschijnselen.
Allerlei al lang onderuit gehaalde mythes over de Gulden Snede worden weer van stal gehaald en als belangwekkende feiten gepresenteerd.

In het fraaie boek De Ontstelling van Pythagoras heeft Albert van der Schoot vrijwel niets heel gelaten van alle flauwekul die over de Gulden Snede verteld wordt. De recensie in NRC noemt er al een paar. En lees ook het artikel Het is niet alles goud wat er snijdt van Van der Schoot in het Nieuw Archief voor Wiskunde.

Ook deze column van Keith Devlin is het lezen meer dan waard.

Be Sociable, Share!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

© 2011 TU Delft