Loterijen? Eerder de Lotto.

Gisteren, in het stuk over bijna-disjuncte families, heb ik het niet over de loterijen gehad waar het in stuk in NewScientist over ging. Sommige mensen waren benieuwd naar die metafoor voor het resultaat in het artikel van David Schrittesser en Asger Törnquist. Ik doe hier een poging zo’n loterij te beschrijven. Ik laat het aan de lezer om te beoordelen welke uitleg beter is: de feitelijke in de vorige post of de metaforische hieronder.

Om te beginnen: `loterij’ is eigenlijk een verkeerde vertaling van het Amerikaanse `lottery’. Bij een loterij koop je een lot en weet je niet wat je lotnummer zal zijn. In een lottery kies je zelf de getallen op je kaartje. Het is dus eerder te vergelijken met onze Lotto. De beschrijving van de `loterij’ in NewScientist is ook eerder die van een variant op de Lotto dan op de Staatsloterij.

Een oneindige variant op de Lotto

In plaats van 6 uit 45 kiezen we getallen uit N. Met de betekenis van het woord `bijna’ van gisteren in gedachten leggen we vast dat we niet `bijna niets’ en ook niet `bijna alles’ mogen kiezen: we moeten er oneindig veel kiezen (aankruisen) en we moeten er oneindig veel niet aankruisen.

Een `formulier’ heeft dus oneindig lange kolommen (net zo lang als N) en oneindig veel kolommen. Je mag dus, kennelijk, oneindig veel kolommen invullen. Wat in het stuk niet duidelijk vermeld wordt is hoe je een prijs kunt winnen.

Maar met het artikel in de hand kunnen we wel wat regels opstellen. Het artikel bewijst namelijk dat oneindige maximale bijna-disjuncte families niet bestaan (dat `oneindige’ heb ik gisteren voor het gemak weggelaten maar dat wordt nu belangrijk); het stukje zegt dat er geen winnende formulieren bestaan. Conclusie: een (zeker) winnend formulier heeft in de kolommen een oneindige maximale bijna-disjuncte familie.
Daaruit concluderen we dan dat een winnende kolom een oneindige doorsnede heeft met de getrokken deelverzameling van N.

We halen hier ook nog wat voorwaarden uit waaraan een geldig formulier aan moet voldoen: niet alleen mag je in één kolom niet bijna alle getallen aankruisen, ook mag je er niet voor zorgen dat je over een eindig aantal kolommen bijna alle getallen aankruist. Als je bijvoorbeeld over tien kolommen achtereenvolgens de tienvouden, tienvouden-plus-1, … tienvouden-plus-9 aankruist win je ook zeker; die tien verzamelingen vormen een eindige maximale bijna-disjuncte familie.

Samengevat: op je formulier kruis je in een aantal kolommen telkens oneindig veel getallen aan. Dat aantal kolommen mag eindig zijn maar hoe dan ook: in elke eindige greep kolommen mag je nooit samen bijna alle getallen aankruisen. Je wint als je in ten minste één kolom oneindig veel getrokken getallen hebt aangekruist.
Door je kolommen bijna-disjunct in te vullen spreid je je inzet het zuinigst; twee kolommen met een oneindige doorsnede hebben een grote overlap aan mogelijkheden. Ten slotte: als je kolommen een maximale bijna-disjuncte familie vormen dan bevat je formulier, per definitie, een winnende kolom.

Het bestaan van (zuinige) winnende formulieren

Het stuk in NewScientist vertelt niet de hele waarheid. De suggestie wordt gewekt dat winnende formulieren niet bestaan. Dat is slechts voor de helft waar. Je kunt bewijzen dat zeker winnende en zuinige formulieren bestaan, met behulp van het Lemma van Zorn (een equivalent van het Keuzeaxioma).
Sommige wiskundigen vragen zich in dit soort situaties af of het Lemma van Zorn wel nodig is bij zo’n concrete vraag; dat Lemma levert namelijk nogal zwaar geschut. En dat is nu wat David Schrittesser en Asger Törnquist hebben vastgesteld: je hebt zwaar geschut nodig; er is bestaat een situatie waarin dat zware geschut niet voorhanden is en waarin geen enkele maximale bijna-disjuncte familie bestaat.

Be Sociable, Share!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

© 2011 TU Delft