Posted in July 2018

In haar laatste column voor de vakantie gaf Ionica Smeets de lezers een puzzel van Martin Gardner mee. Dit stukje gaat over een aspect van de puzzel dat in de column een beetje onbelicht blijft maar dat wel de sleutel tot een oplossing `uit-het-hoofd’ is.

Het probleem gaat als volgt: neem een bol en boor daar een cilindrisch gat in en wel zo dat je een servetring overhoudt die 6 cm dik is. Vraag: wat is het volume van die servetring. NB de as van de cilinder gaat door het middelpunt van de bol; de servetring is dus echt een ring.

Je kunt dat volume op een paar manieren bepalen. Leerlingen die wiskunde B hebben gedaan weten hoe ze volumes van wentellichamen met behulp van integralen uit kunnen rekenen. Als je toevallig wat formules voor volumes van bepaalde delen van een bol paraat hebt reken je het ook zo uit. Wat opvalt als je zo’n weg volgt is dat de straal van de bol er kennelijk niet toe doet. Dit is waarom Ionica dit een krankzinnig raadsel noemt: het lijkt of er een gegeven ontbreekt, namelijk de straal van de bol, maar achteraf blijkt dat niet zo te zijn. Dat had je dan op het spoor van een oplossing `uit-het-hoofd’ kunnen zetten: in de vraag wordt de straal niet genoemd, dan doe die er kennelijk niet toe, maar dan kan ik ook een heel makkelijk geval bekijken.

Maar goed, waarom doet die straal er niet toe?
De leerlingen die het volume met behulp van integralen gaan uitrekenen zien het meteen: in de integraal die uitgerekend moet worden is de straal van de bol verdwenen (hij komt twee keer in het kwadraat voor, maar die kwadraten worden van elkaar afgetrokken).
En wat doet iemand die niet kan integreren? Die gebruikt iets dat teruggaat tot Archimedes maar dat tegenwoordig bekend staat als het principe van Cavalieri.
Leg zo’n servetring op de grond en doe alsof het middelpunt van de bol op hoogte 0 ligt (zie het plaatje in de column). Snij nu de servetring met een wiskundige kaasschaaf in flinterdunne plakken. Bekijk de ringvormige plak op hoogte z. Die ring heeft een buitenstraal en een binnenstraal. De buitenstraal is gelijk aan √(R²-z²) en de binnenstraal is gelijk aan de straal van de cilinder en die is gelijk aan √(R²-3²). De oppervlakte van de ring is dan gelijk aan π(R²-z²-R²+3²) ofwel π(3²-z²) en dat is onafhankelijk van de straal van de bol.
Het principe van Cavalieri zegt, toegespitst op dit geval: als je twee lichamen hebt van gelijke hoogte en op elke hoogte zijn de oppervlakten van de horizontale plakken uit de lichamen even groot dan zijn de volumes van de lichamen aan elkaar gelijk.

En daarom kun je volstaan met het probleem in een heel speciaal geval op te lossen.

Bijna twintig jaar geleden stond in Pythagoras een stukje over de manier waarop Cavalieri zijn principe gebruikte om oppervlakten te bepalen.

Het klinkt wel mooi dat principe van Cavalieri maar klopt het eigenlijk wel? Hoe zou je het bewijzen? Dan komen we vanzelf uit op de vraag wat `volume’ eigenlijk betekent. Na veel nadenken is daar een werkbare definitie van gegeven en gaat het bewijs van het principe via de integraal die de wiskunde-B-ers voor de oplossing van Gardner’s probleem zouden kunnen gebruiken.