Posted in December 2017

Op twitter raakte ik betrokken in een discussie over gaten, in het bijzonder over het aantal gaten dat een rietje heeft. Het antwoord hangt natuurlijk af van wat je als `gat’ aanmerkt maar als je er wiskundigen (in dit geval Ionica Smeets en mij) bij haalt dan krijgt je `één’ als antwoord. En dat komt omdat wiskundigen precies hebben afgesproken wat een `gat’ is en die afspraak leidt tot dat antwoord.

Wat is een gat dan?

We (de wiskundigen dan) beschouwen het rietje als een oppervlak en we tellen de gaten in dat oppervlak door vanuit een vast punt op dat oppervlak krommen te tekenen die beginnen en eindigen in dat punt. Dat is wat lastig met een fysiek rietje dus nemen we een rietje van een heel elastisch materiaal en door het aan één kant op te rekken kun je er een ringvormig gebied in het platte vlak van maken. Het tekenen gaat daar wat makkelijker; je kunt de krommen met touwtjes of elastiekjes maken; dat scheelt uitgummen als het papier te vol wordt.

Bij sommige krommen kun je het elastiekje laten krimpen tot het zo klein is als het vaste punt en zonder dat het elastiekje buiten het werkgebied komt. Bij andere lukt dat niet, bijvoorbeeld één keer (tegen de klok in) om het binnengebied gaat (of twee keer, of drie keer, …).

Een kromme die niet tot het vaste punt samengetrokken kan worden zonder buiten het werkgebied te komen wijst, wiskundig gesproken, op een gat. Dit betekent niet dat we vinden dat er oneindig veel gaten in het gebied zitten. Je kunt namelijk bewijzen (en dat kost enig werk) dat elke kromme (elastiekje) vervormd kan worden tot die ene kromme die één keer linksom het binnengebied gaat; daarbij wordt het aantal keren dat de kromme om het binnengebied gaat bewaard.
Dus een kromme die drie keer om het binnengebied gaat kun je vervormen tot drie keer achtereen die ene kromme, met behoud van richting.
Omdat elke kromme eigenlijk een aantal keer de ene basiskromme doorloopt vinden we dat het gebied één gat heeft.

Een T-stuk

Verderop in de twitterlijn kwam dit plaatje tevoorschijn: een bouwsel van twee rietjes dat eigenlijk een T-stuk voorstelde. Nu heeft een T-stuk drie openingen maar wiskundig gesproken zijn er maar twee gaten. Dat is met de nieuwe grens van 280 karakters net in één tweet uit te leggen:

Buig gaten 1 en 3 naar links zo dat je een broek krijgt; krimp de pijpen in tot je een zwembroekje overhoudt. Leg het broekje op tafel waarbij je gat 2 onder houdt en zover oprekt dat het de buitenrand wordt. Strijk alles glad: cirkelschijf met twee gaten.

Er zijn nu twee basiskrommen: neem een punt ergens in het midden en teken een kromme die één keer om het linkergat gaat en één keer om het rechtergat (beide tegen de klok in).
Elke andere kromme die in het gekozen punt begint en eindigt is te vervormen tot eentje die de basiskrommen doorloopt. Hierbij is het wat ingewikkelder dan bij één gat. De volgorde is van belang: eerst links dan rechts is niet hetzelfde als eerst rechts dan links.
Dus: twee basiskrommen en daarmee twee gaten.

Gaten in de kaas

Gaten (bubbels) in de kaas kun je niet met krommen detecteren: je kunt elke kromme tot een punt vervormen buiten alle holtes om. In dat geval gebruikt men (virtuele) ballonnen: een ballon waar een gat binnen ligt kun je niet geheel binnen de kaas samentrekken. Je kunt zelfs `basisballonnen’ definiëren en laten zien dat elke andere ballon tot een combinatie van basisbalonnen te vervormen is maar dat afspreken is een stuk ingewikkelder dan bij het doorlopen van krommen.