Raaklijnen aan de aarde, II
Vandaag los ik een belofte van gisteren in door te laten zien wat de twee vragen van gisteren gemeen hebben, naast het feit dat beide iets met raaklijnen aan het aardoppervlak te maken hebben.
De vraag naar de hoogte van het eindpunt van de rechte weg van John Körmeling leidde tot de formule
Gisteren stond er 3000 op de plaats van de w maar ik heb die w ingevoerd om de structuur van de formule duidelijk te maken. Ter herinnering R is de straal van de aarde.
De vraag over de wandeling van Zandvoort naar Scheveningen leidde tot
Hierin is α de hoek, in radialen, tussen de positievectoren (vanuit het middelpunt van de aarde) van Zandvoort en Scheveningen. Er geldt dat α=d/R, waar d de gelopen afstand is (gemeten langs het aardoppervlak natuurlijk).
Die formules lijken niet echt op elkaar maar voor een wiskundige met haast en zonder rekenmachine op zak zijn ze eigenlijk gelijk. Het punt is namelijk dat w/R en α erg klein zijn (en (w/R)2 nog kleiner). Voor kleine x gelden de volgende benaderingen.
en
Voor wie wat weet over Taylorpolynomen komen deze benaderingen niet als een verrassing. Voor wie die polynomen niet kent: de benadering van √(1+x) krijg je door je te realiseren dat (1+x/2)2=1+x+x2/4. Als x heel klein is is x2 nog veel kleiner en dat maakt de benadering goed genoeg. Voor de benadering van cos(x) zonder gebruik van de stelling van Taylor verwijs ik naar dit artikel in Pythagoras; daar wordt ook bekeken hoe goed die benadering eigenlijk is.
Als we de benaderingen gebruiken krijgen we de volgende benaderingen van de
twee hoogtes. Voor de weg:
Voor de hoogte aan het eind van de wandeling:
Voor deze laatste benadering doen we twee stappen: de teller wordt R×α2/2=d2/(2R). Nu moeten we nog met 1/(1-α2/2) vermenigvuldigen, maar voor kleine x geldt
dus vermenigvuldigen we met 1+α2/2 met als resultaat
Die laatste term is zo klein dat we hem weg mogen laten.
Als we de benaderingen toepassen krijgen we 0.706858347 voor de weg en 113.4114948 voor de wandeling. De verschillen met de antwoorden dan gisteren zijn in de orde van grootte van tienden van milimeters voor de weg en van milimeters voor de wandeling.
Waarom zou je die benaderingen maken? Een rekenmachientje geeft toch meteen een uitkomst, ook met de ingewikkelde formules? Het antwoord is tweeledig. Ten eerste heb je niet altijd een rekenmachine bij de hand en dat worden die formules wat bewerkelijk. Ten tweede, en dat is de eigenlijke reden: aan de benadering kun je vaak beter afzien hoe de uitkomst van de invoer afhangt. In beide gevallen hebben we gezien dat er een kwadratisch verband is: de grafiek van h als functie van w of d is nagenoeg een parabool.
Een ander voorbeeld van het werken met benaderingen is te vinden in dit artikel uit Pythagoras:
Een touwtje om de aarde.
Tot slot wat opdrachten.
Opgave 1. Bereken d4/(4R3); was het gerechtvaardigd die term weg te laten?
Opgave 2. Ga na dat de benadering ook werkt voor de diepte van de ingegraven weg.
Opgave 3. De benadering zijn, natuurlijk, niet exact. Ga na of ze de echte waarden over- of onderschatten (ook voor de ingegraven weg).
Opgave 4 Onderzoek hoe goed de benadering 1+x van 1/(1-x) is.
Recent Comments