(On)zinnige vragen
Op 9 juni 2017 stond er een mooi stuk van Ellen de Bruin in NRC over de leeftijden van haar en haar moeder; die waren namelijk elkaars omgekeerde: 47 en 74. Tijdens het schrijven van dat stuk vroeg Ellen mij mee te denken over wat een vraag zinnig maakt.
Zoals in de krant beschreven deed ik dat denken op de fiets en aangezien ik elke dag naar en van het werk fiets kwam ik af en toe ook weer terug op het begrip `zinnige vraag’. Een beroemd wiskundige hield een groep studenten voor: “there are no stupid questions” en presteerde het bij de eerste vraag uit de zaal te zeggen “Now, that is a stupid question”.
Ik ben het met beide bovenstaande uitspraken eens: in principe is elke vraag zinnig want er spreekt, hopelijk, een wens uit meer te weten, en dan is altijd een goede zaak. Aan de andere kant: als een student op de universiteit zich afvraagt of √(x+y) toch niet gelijk is aan √x+√y dan is dat in die context een onzinnige vraag want die student zou beter moeten weten.
Of een vraag zinnig is hangt dus vaak van de context af; voor wie net heeft geleerd wat worteltrekken is is het verband tussen √(x+y) en √x+√y iets nieuws.
Het artikel van Ellen de Bruin had te maken met de speciale schrijfwijze die wij hanteren om getallen boek te houden, en juist die schrijfwijze maakte mogelijk dat er iets met de leeftijden van Ellen en haar moeder aan de hand was. Als we de, nogal omslachtige, de unaire schrijfwijze voor getallen zouden gebruiken dan zagen de leeftijden er zo uit: |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| en |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||. Daar is niet veel bijzonders aan af te zien.
Echter, onze decimale positionele schrijfwijze, met cijfers voor en achter de komma, is er zo bij ons ingebakken dan mensen nog wel eens vergeten dat het niet meer is dan een schrijfwijze. Er zijn vele manieren in gebruik (geweest) om getallen boek te houden en de huidige Indo-Arabische heeft gewonnen omdat deze op het juiste moment door veel handelaren en wetenschappers gebruikt werd. Maar omdat de schrijfwijze nu eenmaal universeel gebruikt vereenzelvigen veel mensen getallen met die ene schrijfwijze. Dat is normaal gesproken niet erg, “het getal 21” is een stuk korter dan “het getal dat in de Indo-Arabische schrijfwijze wordt weergegeven als 21” maar het kan in de wiskunde leiden tot vragen die echt onzinnig zijn.
Sommige mensen lijken te denken dat de rijen cijfers fysieke entiteiten zijn die je beet kunt pakken, op kunt tillen, en ergens anders neer kunt zetten. Een aantal jaren geleden stuurde iemand mij de volgende vraag: “Is het wiskundig toegestaan de oneindig veel negens in 0,999999… in omgekeerde volgorde vóór de komma te zetten?” Ik parafraseer want in de tussentijd is bij een niet-geplande schoonmaak van mijn harde schijf nogal wat email verloren gegaan. Wat ik toen terug had moeten schrijven is dat dat een onzinnige vraag is en wel hierom.
De uitdrukking 0,999999… is een informele manier om het volgende samen te vatten (af te korten): wij nemen de functie, f, van de verzameling N der natuurlijke getallen naar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, die voor elke n voldoet aan f(n)=9 en we maken daarbij een reëel getal door de termen van de rij f(1)×10-1, f(2)×10-2, … f(n)×10-n, … op een welbepaalde menier bij elkaar op te tellen.
Het onzinnige van de vraag ligt hem in die achtergrond: een informele afkorting van een niet geheel triviaal stukje wiskunde wordt omgebouwd tot een nieuwe afkorting van … van wat eigenlijk? In ieder geval niet van een of ander natuurlijk getal. In plaats van meteen te zeggen dat dit onzinnig was heb ik geprobeerd door tegenvragen de vraagsteller dit zelf in laten zien; dat is niet gelukt. Hij wilde op deze manier een bijectie tussen N en het interval [0,1] maken en mijn vragen leidden daar alleen maar van af.
Recent Comments