Twee machten vergelijken

Op een paar plekken op het web dook de vraag weer eens op wie groter is: 1000¹⁰⁰¹ of 1001¹⁰⁰⁰.

Je kunt die vraag op meer dan één manier/niveau beantwoorden. Achtereenvolgens bekijken we

1. Rekenmachientje: neem links en rechts de duizendstemachtswortel en vergelijk 1000^1,001 met 1001. Dank aan Frank Boers (via `Leraar Wiskunde’ op Facebook).
2. Logaritmen en rekenmachientje: de logaritmen (basis 10) kunnen eenvoudig vergeleken worden en we krijgen informatie over het aantal cijfers in beide machten.
3. Natuurlijke logaritmen en integralen: de natuurlijke logaritmen van de machten kunnen, met een beroep op een eenvoudige eigenschap van de integraal `met de hand’ vergeleken worden.
4. Binomium van Newton: schrijf (1000+1)¹⁰⁰⁰ uit met behulp van het binomium en laat zien dat de termen in de som steeds groter worden; hiermee is de macht snel af te schatten.
5. Binomium van Newton (bis): het quotient van (1000+1)¹⁰⁰⁰ en 1000¹⁰⁰¹ is met behulp van het binomium af te schatten met 3/1000.
6. Het getal e: met behulp van een definierende rij voor e kan de vorige afschatting verbeterd worden tot e/1000.
7. Functieonderzoek: in het algemeen geldt: als e<x<y dan y^x<x^y. Dit volgt door de functie x/ln(x) te bekijken. Dank aan René Pannekoek.
8. Gebruik de e-macht: via e^x>1+x vind je 1000^1,001>1000+ln(1000).

De oplossingen vereisen nogal wat wiskundige notatie; daarom heb ik ze hier in een PDF-file neergezet.

Be Sociable, Share!

• 
•