Posted in 2020
Het laatste cijfer
Op twitter werd gevraagd naar het laatste cijfer van het getal van Graham. Grappig genoeg heeft dat een redelijk eenvoudig antwoord.
In deze coronatijden krijgen ouders vragen van hun kinderen die deze meestal aan de onderwijzer(es) vragen, zoals
waarom eindigt dat op een 7, en niet op een 9 of een 0? Daar hield onze lokale kennis op, dus hopelijk weet jij raad @ionicasmeets ?
— Mirjam070 (@MvL070) April 5, 2020
Nu is het getal van Graham het resultaat van een ongelooflijk aantal malen machten van 3 nemen, in een toren van 3-en. Het resulterende getal is nog groter. Maar hoe zou je het laatste cijfer van dat getal kunnen bepalen? Dat is eenvoudiger dan het lijkt. We doen het in stappen.
Om te beginnen het getal is een macht van 3 en als we de eerste paar machten van 3 opschrijven, en alleen het laatste cijfer noteren vinden we 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, … Dat dit zich zo blijft herhalen wordt duidelijk als je je realiseert dat het laatste cijfer van 3×n alleen van het laatste cijfer van n afhangt.
Welke van die vier cijfers is het nu? Welnu de exponent van het getal is weer een macht van drie en dus oneven. Dat betekent dat we alleen een 3 of een 7 als mogelijkheid overhouden. Als we van die exponent de rest kunnen vinden bij deling door 4 weten we welk van de twee het is.
Schrijf die resten maar op: 31 heeft rest 3; 32 heeft rest 1; 33 heeft rest 3; 34 heeft rest 1; … het patroon wordt duidelijk: bij oneven exponenten is het 1 en bij oneven exponenten is het 3.
Maar we hebben een toren van drieën, dus de exponent van de exponent is oneven en het eindcijfer is gelijk aan 7.
Iets geavanceerder
Als je hebt leren rekenen modulo getallen (`klokrekenen’) gaat het sneller.
Onze vondst van periode 4 vind je door te zeggen 31=3,
32=9, 33=27=7 modulo 10, 34=3×7=21=1 modulo 10 en zodra we 1 hebben gevonden is duidelijk dat we de periode hebben.
Dan moeten we modulo 4 rekenen om te weten of we 3 of 7 krijgen, maar 3=-1 modulo 4, dus 3k=(-1)k modulo 4 en dan is duidelijk wat we krijgen bij een oneven exponent.
Opgave
Probeer zelf de laatste twee cijfers van het getal van Graham te bepalen. Het duurt iets langer maar met een beetje volhouden kom je er wel.
De fundamenten (ahem) van de astrologie
Er stak vandaag op twitter een stormpje op over een artikel in NRC over de populariteit van astrologie onder hoogopgeleiden. De krant had meer moeten benadrukken dat astrologie gewoon onzin is en dat er bij die desbetreffende hoogopgeleiden een steekje los is. Ik zou graag gezien hebben dat de wetenschapsbijlage een stuk geplaatst had over andere aspecten van de astrologie: onder andere de nogal zwakke fundamenten onder de oorspronkelijke dierenriem.
Wie een boek (of website) over de geschiedenis van de wiskunde en natuurwetenschappen leest komt er snel achter dat astronomie en astrologie zich oorspronkelijk gezamenlijk ontwikkelden. De Wikipediapagina “Astrology and Astronomy” biedt voldoende startpunten voor een ontdekkingstocht. In het kort: de stand van de sterren had praktisch belang voor plaatsbepaling, tijdsmeting en voorspellingen van hemelverschijnselen als zons- en maansverduisteringen. Waarschijnlijk door de misvatting Post Hoc Ergo Propter Hoc gebruikte men de stand van de sterren ook voor andere voorspellingen. Evengoed is de astrologie mede de oorzaak van de ontwikkeling van grote delen van de klassieke wiskunde.
De fundamenten
In mijn achterhoofd zat nog een herinnering aan een stuk dat ik gelezen had waarin verteld werd dat de dierenriem sinds de Babyloniërs hem hadden gemaakt behoorlijk opgeschoven was.
Met wat zoekwerk vond ik op de site van stylist.co.uk een vermakelijk artikel dat onder verwijzing naar een pagina van NASA uitlegt dat onze westerse sterrebeelden voor geen meter kloppen met wat er aan de hemel te zien is.
Samengevat:
- de Babyloniërs trokken een rechte lijn vanuit de aarde door de zon en bekeken telkens door welk sterrebeeld die lijn ging. Maar in plaats van netjes de tijden dat de sterrebeelden gesneden werden aan te houden verdeelde men de cirkel in twaalf nette segmenten van 30 graden elk. Niet alleen werd er dus behoorlijk gesmokkeld, er werd zelfs een sterrebeeld weggemoffeld: Ophiuchus.
- door de verandering van de stand van de aardas zijn de sterrebeelden een stuk opgeschoven; de data die we gebruiken om sterrebeelden aan personen toe te kennen kloppen niet meer met wat echt boven ons te zien is.
Op de pagina van stylist.co.uk staat een handig tabelletje waarop te zien is hoe mis het allemaal is: Kreeft eindigt niet op 22 juli maar begint op 20 juli en eindigt op 10 augustus; en Schorpioen duurt eigenlijk maar een week (en begint pas een dag nadat het officieel geëindigd is).
Recent Comments