Wat is een verzameling? II

We zetten de zoektocht naar het begrip `verzameling’ voort.

In de vorige blogpost hebben we de definities die Bolzano en Cantor van `verzameling’ gaven geciteerd. Die kwamen eigenlijk neer op “een verzameling is een verzameling”. Nu is het nogal lastig om een definitie van verzameling in woorden op te schrijven zonder te vervallen in synomiemen maar het kan wel.

Rond de eeuwisseling (die van 1900) begon men ernstig over de aard van definities na te denken. De eerste stap was het vastleggen van de taal waarin die definities vastgelegd zouden worden. En met `taal’ bedoelde men niet zoiets als Grieks, Latijn, of Swahili maar een meer formele constructie. Deze gaat uit van een beperkt aantal symbolen. Sommige zijn algemeen, zoals ∧ (en), ∨ (of), ¬ (niet), ∀ (voor alle) ∃ (er is) enzovoort; en sommige zijn specifiek voor het onderhavige onderdeel van de wiskunde, in de verzamelingenleer kunnen we toe met ∈ (is element van) en = (is gelijk aan).

In deze taal kunnen we vrijwel alles beschrijven wat we willen. De taal is sterk genoeg om dingen als

• “x is een priemgetal”
• “x is een reëel getal”
• “x is een rechte lijn in het vlak”

en nog veel meer uit te drukken. Op deze manier kunnen we afspreken dat we iets alleen een verzameling noemen als het bestaat uit x-en met een eigenschap die in onze taal is uit te drukken. Dus
{x : x is een priemgetal}
is een verzameling (waarbij “x is een priemgetal” in de taal is geformuleerd). Dit komt vrij dicht in de buurt van Cantor’s definitie van verzameling: de accolades {} representeren de `Zusammenfassung zu einen Ganzen’, en we hebben `Annschauung’ en `Denken’ vervangen door `beschrijfbaar in de taal’.

De lege verzameling ∅ is uit te drukken door {x : x≠x} en telt dus mee als verzameling. Andere dingen leken iets dubieuzer, zoals {x : x=x}, de verzameling, V, van alle verzamelingen(?). Die gaf aanleiding tot een paradoxale toetand: Cantor had bewezen dat elke verzameling strikt minder elementen dan deelverzamelingen heeft (zie deze en de daarop volgende post voor de betekenis van meer en minder), maar voor deze V geldt dat niet, want elke deelverzameling is automatisch ook een element.
De oplossing, van Cantor, was onderscheid te maken tussen gewone en `oneigenlijke’ verzamelingen. En V was dus oneigenlijk; te groot om als gewone verzameling mee te tellen. Dat dit niet de schoonheidsprijs verdient lijkt me duidelijk want wie bepaald wat gewoon en oneigenlijk is?

Het kon nog erger: Bertrand Russell schreef de volgende verzameling, R, op: {x : x∉x}. Deze R leidt tot een wel heel eenvoudige paradox/tegenspraak, namelijk “$R∈R dan en slechts dan als R∉R”. Hier zijn geen diepe stellingen voor nodig; de afspraak hierboven was vanaf het begin al dubieus.

De uiteindelijke oplossing kwam van Ernst Zermelo. Deze formuleerde een een lijst axioma’s (spelregels) die we in acht moeten nemen als we met verzamelingen omgaan. Deze geven vooral aan hoe nieuwe verzamelingen uit oude gevormd kunnen/mogen worden. Die regels zijn redelijk natuurlijk; zo mogen we, gegeven twee verzamelingen x en y de verzameling {x,y} vormen.
Een van de belangrijkste regels is het Afscheidingsaxioma; dit zwakt onze eerste beschrijving wat af. Als x een gegeven verzameling is en φ is een formule in onze taal dat is {y:y∈x ∧ φ} weer een verzameling. Het verschil is dus dat we al een verzameling moeten hebben en daarbinnen elementen met een bepaalde eigenschap bijeen nemen.
Wat voor veel mensen in begin nog even wennen is is dat elk individu waar uitspraken over worden gedaan een verzameling is. Dus de elementen van verzamelingen zijn zelf ook weer verzamelingen enzovoort. Dat impliceert ook dat dingen als natuurlijke en reële getallen beschrijvingen krijgen die niet lijken op wat we gewend zijn maar dat went uiteindelijk wel.

Maar goed, dit leidt dan tot de volgnde definitie van verzameling: iets waarvan het bestaan uitgaande van de axioma’s te bewijzen is.
En wat dan allemaal uitgaande van die axioma’s mogelijk is kunt u in elk boek over Verzamelingenleer lezen en ook in het dictaat van de cursus Verzamelingenleer die ik zelf gegeven heb.

Be Sociable, Share!

• 
•