Posts in category wisfaq

Exacte oplossingen

Een veel voorkomende vraag op de wisfaq is: “Hoe los ik … op?” Op de plaats van de puntjes staat dan een vergelijking die maar niet tot een mooie oplossing wil leiden, zoals bijvoorbeeld -x2+4x-3 = sin(x). Het antwoord op de vraag is vaak: “Het kan niet exact, doe maar een numerieke benadering.” Maar wat betekent `exact’ eigenlijk?

Heel veel wiskundesommen komen uiteindelijk neer op het oplossen van een vergelijking, het invullen van een of meer getallen in een of andere uitdrukking, en/of het daarna vereenvoudigen van de uitkomst tot …, tot wat eigenlijk? Tot een compacte overzichtelijke uitdrukking waarvan wellicht ook makkelijk te controleren of het een oplossing van het probleem is. Wat een compacte overzichtelijke uitdrukking is varieert met de tijd. Het begint met natuurlijke getallen; een antwoord als `3′ is duidelijk en je kunt waarschijnlijk natellen of het klopt. Vrij snel komen (positieve) breuken bij het verdelen van dingen (traditioneel taarten) over personen: drie taarten over vijf personen eerlijk verdelen levert iedereen 3/5 taart op. Nog later komen er negatieve getallen bij, meestal uitgelegd als `schuld’.

Dat is allemaal nog redelijk overzichtelijk maar dan wordt het spannender: als je een vierkant met een oppervlakte van 2 m2 wilt maken dan heb je niks aan al die breuken, positief of niet. Om praktische redenen is het wel gewenst de lengte van de zijden van dat vierkant te benoemen, en dat heeft geleid tot een van de eerste afkortingen die je bij de wiskunde leert: √2. Dat getal is echt nieuw, niet te weer te geven als een breuk. Er is zelfs een heel Zebraboekje aan √2 gewijd.

Het interessante is dat na verloop van tijd dat symbool √ heel vertrouwd wordt en dat we het accepteren als ingredient in die `compacte overzichtelijke’ uitdrukkingen. Met de abc-formule als eerste hoogtepunt. Ondanks het feit dat √D niet meer is dan een afkorting van “het positieve reële getal waarvan het kwadraat gelijk is aan D”.

Een andere bekende afkorting is natuurlijk π: de verhouding tussen omtrek en diameter van een cirkel. Ook π is niet als breuk uit te drukken, erger nog: met π is algebraïsch helemaal geen goed garen te spinnen. Maar π komt in zoveel uitkomsten en formules voor dat het onderhand een vertrouwde vriend geworden is.

Op de middelbare school en later stijgt het aantal `vertrouwde vrienden’ snel, via allerlei nieuwe functies als sinus, cosinus, e-macht, logaritme, … Zo is de lengte van het stukje van de parabool met vergelijking y=x2 tussen de punten (0,0) en (1,1) gelijk aan


en niemand knippert met de ogen. Als je de echte betekenis van die uitdrukking wilt achterhalen zul je vrij diep de wiskunde in moeten duiken want hij hangt van afkortingen aan elkaar.

Even terug naar de vergelijking aan het begin. Heeft die vergelijking wel oplossingen? Ja, daar kun je je van overtuigen door de grafieken van het linker- en rechterlid even te schetsen; je ziet dan dat er een intervalletje is waarop -x2+4x-3 groter is dan sin(x) en de eindpunten van dat intervalletje zijn de oplossingen van de vergelijking. Is er een formule voor de linkeroplossing? Ja:


deze komt direct uit het bewijs van de tussenwaardestelling. Die stelling zegt dat dat minimum bestaat, noem het even a, en dat a daadwerkelijk aan de vergelijking voldoet. Voor wie dit geen mooie formule vindt, bedenk dan dat √2 niets meer is dan een afkorting voor


hetwelk volgens diezelfde tussenwaardestelling bestaat.

Met a en √2 is goed te werken; je kunt ze in allerlei uitdrukkingen stoppen en die weer proberen te vereenvoudigen. In het geval van √2 vervang je telkens (√2)2 door 2; probeer maar eens aan te tonen dat


Wat a betreft: telkens als je sin(a) ziet kun je daar -a2+4a-3 van maken (of omgekeerd); dat gebeurt niet zo vaak en daarom zal a lang niet zo vertrouwd worden als √2 dat al eeuwen is.

Los op. Of toch niet?

Een aardige vraag op de wisfaq die laat zien dat een opgave goed lezen ook belangrijk is.

De vraagsteller had moeite met deze vraag:

“Toon aan dat er een reëel getal t bestaat zodat voor de functie g(x)=(x-a)2(x-b)2+x geldt dat g(t)=(a+b)/2.”

Het oplossen van de vergelijking (t-a)2(t-b)2+t=(a+b)/2 lukte niet helemaal.
Maar hoogstwaarschijnlijk was het helemaal niet de bedoeling die vergelijking op te lossen: de opgave was namelijk “toon aan dat zo’n t bestaat”, niet “bepaal zo’n t”. Dat de vraagsteller een student van een universiteit is suggereert dat het hiet om een toepassing van de Tussenwaardestelling gaat. Die stelling spreekt voor velen bijna voor zichzelf maar een van de eersten, zo niet de eerste, die doorhad dat er iets te bewijzen was was Bernard Bolzano. In een artikel met de welluidende titel Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes daß zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzetes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege legde hij uit dat de volgende stelling wel degelijk een bewijs nodig had:

Laat f en φ twee continue functies zijn en a en b twee reële getallen zo dat f(a)<φ(a) en f(b)>φ(b); dan ligt er een getal c tussen a en b met f(c)=φ(c)

In een tijd dat `continu’ meetkundig werd geïnterpreteerd als `de grafiek is een ononderbroken kromme’ leek het duidelijk dat de grafieken van f en φ elkaar tussen a en b zouden moeten snijden. Bolzano waste zijn tijdgenoten grondig de oren over deze misvatting; hij wilde een echt analytisch bewijs en geen `kijk maar, er is een snijpunt’. Bolzano had namelijk ook al door dat niet elke continue functie een makkelijk te tekenen grafiek had: hij heeft ook een van de eerste continue nergens differentieerbare functies geconstrueerd. In het artikel van Bolzano vinden we een analytische definitie van continuïteit en een bewijs van de tussenwaardestelling dat zo in de huidige boeken opgenomen kan worden (en eigenlijk opgenomen is).

Met deze stelling in de hand is de opgave zo opgelost: voor de functie van de vraag geldt g(a)=a en g(b)=b; het getal gemiddelde (a+b)/2 van a en b ligt tussen a en b, dus toepassing van Bolzano’s stelling met g en de constante functie ψ met waarde (a+b)/2 levert het bestaan van een t tussen a en b met g(t)=(a+b)/2.

Overigens kan de vergelijking wel opgelost worden: er is een oplosformule voor de vierdegraadsvergelijking maar die staat vrijwel nergens op het programma van een analysecursus.

Maple en zo, II

“Waarom makkelijk als het moeilijk kan”, lijkt onze vraagsteller gedacht te hebben.

Eigenlijk is het gebruik van Maple en zo een recht dat je moet verwerven.

Maple en zo

Om met een Computer-Algebra-Systeem (CAS) als Maple of Mathematica om te kunnen gaan helpt het als je wat wiskunde beheerst. Dat bleek bijvoorbeeld bij het beantwoorden van een vraag op de wisfaq.

Het begon met deze vraag; daarin kwam een geweldige integraal ter sprake:

uit de rest van de vraag bleek dat de ondergrens in de integraal ta0 had moeten zijn in plaats van 0. De vraagsteller had dat niet in de gaten en probeerde behulp van het commando piecewise Maple tot het bepalen van de integraal te verleiden. Dat lukte niet.

Bij mijn antwoord op de eerste reactie heb ik, met de hand, de integraal getransformeerd tot een vorm waarin duidelijk werd dat we hier met een getransformeerde β-functie te maken hadden.
De volgende reactie laat zien wat er gebeurt als je niet goed weet wat je doet; het lukte niet de transformatie om te keren.
Twee reacties later leek het verhaal bijna te ontsporen want er kwam een `Gegeneraliseerde β-verdeling’ ter sprake; of het resultaat daar een speciaal geval van was? Door de parameters geschikt te kiezen leek dat wel het geval.
Maar eigenlijk was dat te veel eer; bij de laatste reactie bleek dat om niet veel meer ging dan de dichtheids (p+q)xp+q-1 op het interval [0,1] ging, maar dan getransformeerd.

Wat mij vooral opviel dat er geen enkele poging werd gedaan de Mapleuitvoer een beetje te fatsoeneren of te vereenvoudigen, terwijl dat toch heel wel mogelijk was. En er werd ook geen onderscheid gemaakt (of gezien) tussen hoofd- en bijzaken.

Rare vragen IV: vier chemici op zoek naar een optimum (deel 2)

We vervolgen de reis die begon bij deze vraag op www.wisfaq.nl. Inmiddels hebben de studenten aangegeven een docent op te zoeken. Ik had toch nog een paar gedachten over het probleem.

Vierde reactie

Mijn vermoeden was dat de zaak als volgt in elkaar stak: er was een drie-dimensionaal array geïndiceerd met [x1,x2,x3] en bij elk drietal een (meet)waarde y1. Eerst werd bij vaste x2 en x3 door middel van kleinste kwadraten een best passend vierdegraadspolynoom voor y1 in termen van x1 bepaald. De term `kleinste kwadraten’ heb ik er zelf bijgehaald; de studenten hadden het over de `lijnschatter’ van Excel en het klinkt alsof dat een zwarte doos is voor het uitvoeren van lineaire regressie (Google gaf weinig info).

De volgende stap leek dit bij vaste x3 in de in de richting van x2 te herhalen, waarbij coëfficiënten als functie van x2 werden geschreven. En ten slotte werd ook x3 bij het functievoorschrift betrokken.

Ik beschreef dit in mijn reactie en gaf aan dat met kleinste kwadraten ook in één keer een polynoom in drie variabelen voor y1 als functie van x1, x2 en x3 te maken is.

Vijfde reactie

De reactie bevestigde mijn vermoeden maar liet ook zien dat de studenten eigenlijk niet wisten wat ze aan het doen waren: geen reactie op `kleinste kwadraten’.

Voor iemand die weet hoe deze methode werkt is het geen grote stap van één naar meer variabelen. Vermoedelijk is dat niet iets dat makkelijk met de `lijnschatter’ van Excel te doen is.

Zesde reactie

In het (voorlopig) laatste deel van dit verhaal wordt duidelijk dat de studenten toch wel wat wiskunde, in het bijzonder Lineaire Algebra, bij zouden moeten leren.

Conclusie?

Ik werd in het begin op het verkeerde been gezet door de manier waarop de vraag in eerste instantie werd gesteld: het leek of de studenten wisten wat ze deden, uit hun verhaal haalde ik dat ze wisten wat kleinste kwadraten waren maar dat ze niet goed wisten wat met meer dan één variabele aan te vangen. Herhaald toepassen is geen slecht idee maar de beschrijving was zo onduidelijk dat het lang duurde voor ik doorhad dat ze slechts op de zwarte doos die Excel is steunden.

En dan waren we nog niet eens aan de gevraagde optima toegekomen. Zelfs als er uiteindelijk een polynoom voor y1 in termen van x1, x2 en x3 gemaakt is dan nog is het optimum van d[6(1-y1)/x3]/dx1 (en d[6(1-y1)/x3]/dx2 en d[6(1-y1)/x3]/dx3) niet zo snel gevonden, in ieder geval niet in formulevorm zoals de studenten hoopten want het nul stellen van de partiële afgeleiden leidt niet tot prettige vergelijkingen.

Mijn eigen conclusie: niet alle vraagstellers weten/kunnen wat hun vraag lijkt te suggereren.

Rare vragen IV: vier chemici op zoek naar een optimum (deel 1)

Op 1 september 2017 verscheen er een vraag op de wisfaq.nl die aanleiding bleek tot een hele serie reacties met vragen en wedervragen. Ik weet eigenlijk niet wie er meer geleerd heeft: de vraagstellers of ikzelf.

De vraag

Ik raad de lezer aan de vraag eerst zelf te lezen; dan zal duidelijk worden dat deze niet makkelijk is samen te vatten. Het probleem was namelijk, voor mij, dat de vraagstellers geen onderscheid leken te kunnen (of willen?) maken tussen enkel- en meervoud. Dat begon al met de zin “We beschikken over een uitgebreide reeksen.” En verder leek “y1 als functie van x1” eerst op één functie te slaan maar later op meer dan één: x2 ging voor variatie zorgen, en later kwam er ook nog een x3 in het spel. Enfin, mijn reactie laat zien dat men wel iets duidelijker kon zijn.

Eerste reactie

De eerste reactie probeerde een en ander te verduidelijken maar dat lukte niet echt; ik kon geen vinger achter de relaties tussen de, inmiddels zes, variabelen x1, x2, x3, y1, y2 en y3 krijgen. Ik maakte een minimaal datasetje dat, dacht ik, aan de eisen voldeed en vroeg hoe ze y1 als functie van x1 dachten te schrijven.

Tweede reactie

Geen reactie op de dataset maar nog meer uitleg van de werkwijze, zonder dat nu echt duidelijk wordt hoe y1 als functie van x1 te schrijven is. Nogmaals gevraagd hoe dat zou werken met het datasetje.

Derde reactie

Andermaal geen reactie op de dataset, wel de medeling “wij zijn studenten chemie, geen wiskunde”. De bijgeleverde uitleg van de vorm van de vier-dimensionale tabel bracht niet echt meer duidelijkheid. De mededeling aan het eind was van alles het meest zorgwekkend: studenten op een hogeschool zoeken wiskunde-experts op de wisfaq, niet op het eigen instituut. Ik heb ze aangeraden toch eens iemand op de eigen school aan te spreken.

Vierde reactie

Na een zo mogelijk nog cryptischere beschrijving van hun werkwijze komt de mededeling dat ze wel naar een docent zullen stappen.

Morgen meer.

De ene wortel is de andere niet

Of toch wel …

Er was weer een interessante vraag op de wisfaq. OK, wiskundig gezien niet erg interessant maar wel als inkijk in het hoofd van een/de(?) student.

Een vraag over de cosinus van de helft van arcsin(⅓) leidde tot het volgende: de student had

als antwoord gevonden en het `officiéle’ antwoord was

In de woorden van de student: “En dat is waar ik vastloop.”.

Eigenlijk was de student niet vastgelopen; de oplossing was correct, alleen niet letterlijk gelijk aan het modelantwoord. Voor iemand die met vierkantswortels om kan gaan zou het een koud kunstje moeten zijn het ene antwoord in het andere om te zetten en ik vraag me af waarom dat tot `vastlopen’ zou moeten leiden.

De oefening ging duidelijk om werken met inverse goniofuncties en daar kan de student mee overweg. Hij is kennelijk de routine van de vierkantswortels al weer kwijt. En uit de vervolgvraag blijkt dat hij niet erg stevig in de schoenen staat.

De vraag is wat de vraag is geweest: als er niets meer gevraagd werd dan de cosinus van de helft van arcsin(⅓) dan is het antwoord van de student prima; het modelantwoord is alleen wat mooier gemaakt. Al kun je daar over twisten: aan het antwoord van de student is wat makkelijker te zien hoe groot die cosinus ongeveer is. Als in de vraag stond dat in de wortel alleen gehele getallen mogen staan dan is het modelantwoord het gewenste antwoord maar dan gaat de vraag over meer dan alleen goniofuncties.

Dit alles neemt niet weg dat je van een student zou mogen verwachten dat deze in staat zou moeten zijn de twee wortelvormen aan elkaar gelijk te praten.

Rare Vragen, III

In de serie `Rare Vragen uit de wisfaq‘ vandaag een non-vraag.

Hier is de hele `vraag’

Bepaalde lijnintegraal die de wortel van π als uitkomst geeft

Het gebeurt wel vaker: een uitdrukking of vergelijking zonder verder commentaar, maar met de impliciete vraag (een bevel?) om een uitwerking.
Ik kon het niet helpen; ik heb geantwoord met de beroemde voetnoot uit The Life of Lord Kelvin die een wiskundige beschrijft als iemand voor wie de waarde van die integraal net zo duidelijk is als 2+2=4. Zie bijvoorbeeld dit artikel uit de Bulletin of the American Mathematical Society

Rare vragen, II

In de serie `Rare vragen uit de wisfaq‘ vandaag een verschijnsel dat
gemengde gevoelens bij me oproept.

Hier is een voorbeeld

Re: Deelbaarheid door 11
Voor een onderzoekscompetentie zou ik graag iets doen met de deelbaarheid van getallen. Ik wilde een bewijs opstellen voor de deelbaarheid van het getal 11. Hiervoor heb ik dan volgende formule gekregen.

Ik heb ondertussen al ondervonden wat een sommaties en modulo zijn maar snap nog de formule nog steeds niet goed. Zou iemand me kunnen helpen aub?

Het `Re:’ in de vraag geeft aan dat het om een reactie op een antwoord op een eerdere vraag gaat, in dit geval een vraag van de vraagsteller zelf. Hoewel de genoemde `volgende formule’ niet te zien is, gaat het waarschijnlijk om de regel die in het eerdere antwoord gegeven is.

Het verschijnsel waar ik op doelde zit besloten in het woord `onderzoekscompetentie’. De leerling moet kennelijk iets onderzoeken. En dat gebeurt, zo te zien, niet door met `deelbaarheid door 11′ op Google te zoeken (ruim elfduizend treffers) maar door een vraag op een forum te stellen. De eerste vraag klonk nog als een vraag, en kreeg een passend antwoord (al zeg ik het zelf); de follow-up hierboven noemde het onderzoeksaspect maar was passief van toon. Mijn tweede antwoord was een zoekopdracht op de wisfaq; er is heel wat te onderzoeken onder die ruim negentig treffers.

Het komt iets minder vaak voor dan een paar jaar geleden (zegt mijn natte vinger) maar zo af en toe is er weer een vraag die klinkt als: “ik moet/wil een (profiel)werkstuk over onderwerp X maken, kunt U mij onderwerp X uitleggen? Of: kent U websites die wat over onderwerp X zeggen?”

Dat leidt dus tot gemengde gevoelens: je kunt zoiets op een paar manieren lezen/interpreteren: als een vraag het denkwerk voor de leerling te doen of als een echte vraag om hulp omdat de leerling niet weet wat te doen. In het eerste geval wordt ik wat knorrig maar stuur ik de leerling met wat zoektips op weg. In het tweede geval ook, maar de knorrigheid richt zich dan (terecht of niet) op meer dan één doel: de leerling die niet het benul heeft een zoekmachine aan te zetten; de leerkracht die de leerling het bos in stuurt; of het `idee’ dat leerlingen van nature alles willen, en dus zullen, leren. Ik weet niet wie het uiteindelijk verdient maar ik krijg wel door, ook bij het begeleiden van bachelorprojecten, dat het lang nodig blijft leerlingen en studenten duwtjes in de goede richting te geven.

© 2011 TU Delft