Posts in category machtsverheffen
Hogere Machten
Gisteren bekeken we een weergave in woorden van een kansberekening in een column van Maarten Keulemans. Vandaag kijken we even naar die berekening zelf en hoe je snel iets over de 5000ste macht van een breuk als 9999/10000 kunt zeggen.
Even ter herinnering:
En het protest op De Dam? Misschien had men gewoon geluk, berekende epidemioloog Frits Rosendaal (LUMC). ‘De kans om corona te hebben, was op dat moment klein, ongeveer een op tienduizend’, stelt Rosendaal. ‘Dat maakt de kans dat van de 5.000 aanwezigen er een of meer besmettelijk waren, op dat moment 39 procent: 1 min 9.999 gedeeld door 10.000, tot de macht 5.000. Vandaar dat er niks gebeurd is.’
Gisteren hebben we gezien dat de te berekenen kans er zo uit moet zien:
Nu kun je die macht in een rekenmachientje stoppen en als dat goed geprogrammeerd is krijg je ongeveer 0,6065, en dat geeft inderdaad, afgerond, een kans van 39 procent.
Met de juiste formules kun je bijna uit het hoofd een goede onderschatting van de macht maken, en daarmee een overschatting van die kans. De eerste formule is een ongelijkheid:
Deze ongelijkheid heeft een naam: De Ongelijkheid van Bernoulli, deze geldt voor alle x-en groter dan -1 (en ongelijk aan 0), en alle nauurlijke getallen. Als we 9999/10000 schrijven als 1-1/10000 kunnen we x=-1/10000 nemen, en n=5000, met als resultaat
Zonder al te veel moeite zien we dat de kans in ieder geval kleiner dan ½ was. Voor dit soort schattingen is de Ongelijkheid van Bernoulli een mooi stuk gereedschap om bij de hand te hebben.
Wat scherper
Kan het beter? Ja natuurlijk. Wat extra kennis over over de rij (1-1/n)n vertelt ons dat
en daaruit vinden we dan (met een relatieve fout van niet meer dan 0,0001):
Hierin is e het grondtal van de natuurlijke logaritme.
Onze macht is dan ongeveer de wortel uit 1/e; en daar hebben we een reeks voor die iedere eerstejaars wiskundestudent leert:
En de eerste paar termen geven ons een antwoord dat al heel dicht bij het resultaat van het rekenmachientje ligt.
Binomium
Voor degenen die het Binomium van Newton kennen (en beheersen): schrijf de eerste paar termen van de uitgewerkte macht maar eens op en vergelijk met de som voor 1/√e.
Spreken met haakjes
In een column van Maarten Keulemans in de Volkskrant werd aan het eind even snel aangegeven hoe groot de kans was dat er bij de Black-Live-Matter demonstratie op 2 juni iemand was die met corona besmet was. Aan het eind gebeurde iets dat mij op het verkeerde been zette.
Daar stond namelijk dit
En het protest op De Dam? Misschien had men gewoon geluk, berekende epidemioloog Frits Rosendaal (LUMC). ‘De kans om corona te hebben, was op dat moment klein, ongeveer een op tienduizend’, stelt Rosendaal. ‘Dat maakt de kans dat van de 5.000 aanwezigen er een of meer besmettelijk waren, op dat moment 39 procent: 1 min 9.999 gedeeld door 10.000, tot de macht 5.000. Vandaar dat er niks gebeurd is.’
Ik heb de zinsnede waar ik over struikelde even rood gemaakt. Het gaat mij om die komma.
Voor de komma staat dus “1 min 9.999 gedeeld door 10.000” en na de komma “tot de macht 5.000”. Die komma had voor mij de functie van haakjes, en met Mijnheer Van Dalen aan mij zijde las ik het gedeelte ervoor als
en met de komma als haakjes las ik
en daar staat gewoon 0,00015.000 en dat is 10-20.000, veel kleiner dan 0,39 dus.
Dat was niet de bedoeling. De bedoeling was dat de haakjes heel anders stonden, namelijk zo:
Dat is nog lastig in zo’n snelle zin te formuleren; als ik dit op college zou doen zou ik het natuurlijk op het bord schrijven maar soms spreek ik het uit voor ik het opschrijf. Ik zou er dit van maken: “1 min de 5000ste macht van: 9999 gedeeld door 10000”. En bij die “9999 gedeeld door 10000” zou ik de haakjes met mijn armen uitbeelden.
Morgen zullen we even naar die 5000ste macht kijken: hoe kun je snel zien dat hij groter dan een half is? En dus die kans kleiner dan een half?
Het laatste cijfer
Op twitter werd gevraagd naar het laatste cijfer van het getal van Graham. Grappig genoeg heeft dat een redelijk eenvoudig antwoord.
In deze coronatijden krijgen ouders vragen van hun kinderen die deze meestal aan de onderwijzer(es) vragen, zoals
waarom eindigt dat op een 7, en niet op een 9 of een 0? Daar hield onze lokale kennis op, dus hopelijk weet jij raad @ionicasmeets ?
— Mirjam070 (@MvL070) April 5, 2020
Nu is het getal van Graham het resultaat van een ongelooflijk aantal malen machten van 3 nemen, in een toren van 3-en. Het resulterende getal is nog groter. Maar hoe zou je het laatste cijfer van dat getal kunnen bepalen? Dat is eenvoudiger dan het lijkt. We doen het in stappen.
Om te beginnen het getal is een macht van 3 en als we de eerste paar machten van 3 opschrijven, en alleen het laatste cijfer noteren vinden we 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, … Dat dit zich zo blijft herhalen wordt duidelijk als je je realiseert dat het laatste cijfer van 3×n alleen van het laatste cijfer van n afhangt.
Welke van die vier cijfers is het nu? Welnu de exponent van het getal is weer een macht van drie en dus oneven. Dat betekent dat we alleen een 3 of een 7 als mogelijkheid overhouden. Als we van die exponent de rest kunnen vinden bij deling door 4 weten we welk van de twee het is.
Schrijf die resten maar op: 31 heeft rest 3; 32 heeft rest 1; 33 heeft rest 3; 34 heeft rest 1; … het patroon wordt duidelijk: bij oneven exponenten is het 1 en bij oneven exponenten is het 3.
Maar we hebben een toren van drieën, dus de exponent van de exponent is oneven en het eindcijfer is gelijk aan 7.
Iets geavanceerder
Als je hebt leren rekenen modulo getallen (`klokrekenen’) gaat het sneller.
Onze vondst van periode 4 vind je door te zeggen 31=3,
32=9, 33=27=7 modulo 10, 34=3×7=21=1 modulo 10 en zodra we 1 hebben gevonden is duidelijk dat we de periode hebben.
Dan moeten we modulo 4 rekenen om te weten of we 3 of 7 krijgen, maar 3=-1 modulo 4, dus 3k=(-1)k modulo 4 en dan is duidelijk wat we krijgen bij een oneven exponent.
Opgave
Probeer zelf de laatste twee cijfers van het getal van Graham te bepalen. Het duurt iets langer maar met een beetje volhouden kom je er wel.
Nul tot de macht nul
In de Facebookgroep Leraar Wiskunde ontspon zich een discussie over de waarde van 00 (nul tot de macht nul). Het begon met een opinieonderzoek met als opties
- 0
- 1
- onbepaald
De macht 00 komt wel eens voor bij het bepalen van limieten: als f(x) en g(x) limiet 0 hebben (als x naar een reëel getal of ∞ gaat) wat is dan de limiet van f(x)g(x)?
Je kunt proberen 00 te definiëren maar dat zal altijd een beetje onbevredigend blijven.
Het uitgangspunt zal natuurlijk de situatie zijn waar xy undubbelzinnig afgesproken kan worden. Dat is voor positieve x. Voor rationale y komt men met interpretatie `herhaald vermenigvuldigen’ een heel eind, zie bijvoorbeeld dit artikel in Pythagoras; daar wordt ook uitgelegd wat te doen als y irrationaal is.
Een andere aanpak is die van Cauchy. In zijn Analyse Algébrique vindt men vanaf bladzijde 106 hoe de continue functies φ te bepalen die voldoet aan de vergelijking φ(x+y) = φ(x)×φ(y). Het resultaat: exponentiële functies: er geldt φ(x)=φ(1)x.
Niets weerhoudt ons ervan te kijken wat er gebeurt als we φ(1)=0 eisen. Dan kunnen we het bewijs volgen zolang de exponent positief is; het resultaat is dat noodzakelijk 0x=0 en continuïteit dwingt ons dan 00=0 te nemen.
Aan de andere kant: Cauchy concludeerde ook dat φ(0)=1 in alle gevallen dat φ(1)>0; dan leidt een limietovergang tot de conclusie 00=1.
Er zijn natuurlijk diverse andere manieren om 00 via een limiet aan te pakken: voor de hand ligt te kijken wat met xx gebeurt als x (van boven) naar 0 nadert. Dat gaat het snelst via de gelijkheid xx=ex×ln(x): de limiet van die exponent is gelijk aan 0, dus de gehele limiet is gelijk aan 1.
Ik zou zeggen dat mogelijkheid 3 toch wel de juiste is.
Dat kunnen we nog beter beargumenteren door wat meer functies in het probleem van de limiet van de macht f(x)g(x) te stoppen.
Neem eens f(x)=exp(-1/x) en g(x)=x; beide functies hebben limiet 0 als x (van boven) naar 0 gaat. Maar f(x)g(x) is constant, met waarde e. Een kleine variatie: neem a>0 en verander g(x) in a×x; dan is de limiet gelijk aan e-a. We kunnen dus elk positief getal als limiet krijgen.
En het volgende paar functies geeft aan dat ∞ ook mogelijk is: neem f(x)=exp(-1/x^2) en g(x)=-x, dan is f(x)g(x) gelijk aan exp(1/x), met limiet ∞ als x (van boven) naar 0 gaat.
Recent Comments