Hogere Machten

Gisteren bekeken we een weergave in woorden van een kansberekening in een column van Maarten Keulemans. Vandaag kijken we even naar die berekening zelf en hoe je snel iets over de 5000ste macht van een breuk als 9999/10000 kunt zeggen.

Even ter herinnering:

En het protest op De Dam? Misschien had men gewoon geluk, berekende epidemioloog Frits Rosendaal (LUMC). ‘De kans om corona te hebben, was op dat moment klein, ongeveer een op tienduizend’, stelt Rosendaal. ‘Dat maakt de kans dat van de 5.000 aanwezigen er een of meer besmettelijk waren, op dat moment 39 procent: 1 min 9.999 gedeeld door 10.000, tot de macht 5.000. Vandaar dat er niks gebeurd is.’

Gisteren hebben we gezien dat de te berekenen kans er zo uit moet zien:

Nu kun je die macht in een rekenmachientje stoppen en als dat goed geprogrammeerd is krijg je ongeveer 0,6065, en dat geeft inderdaad, afgerond, een kans van 39 procent.

Met de juiste formules kun je bijna uit het hoofd een goede onderschatting van de macht maken, en daarmee een overschatting van die kans. De eerste formule is een ongelijkheid:

Deze ongelijkheid heeft een naam: De Ongelijkheid van Bernoulli, deze geldt voor alle x-en groter dan -1 (en ongelijk aan 0), en alle nauurlijke getallen. Als we 9999/10000 schrijven als 1-1/10000 kunnen we x=-1/10000 nemen, en n=5000, met als resultaat

Zonder al te veel moeite zien we dat de kans in ieder geval kleiner dan ½ was. Voor dit soort schattingen is de Ongelijkheid van Bernoulli een mooi stuk gereedschap om bij de hand te hebben.

Wat scherper

Kan het beter? Ja natuurlijk. Wat extra kennis over over de rij (1-1/n)n vertelt ons dat

en daaruit vinden we dan (met een relatieve fout van niet meer dan 0,0001):

Hierin is e het grondtal van de natuurlijke logaritme.

Onze macht is dan ongeveer de wortel uit 1/e; en daar hebben we een reeks voor die iedere eerstejaars wiskundestudent leert:

En de eerste paar termen geven ons een antwoord dat al heel dicht bij het resultaat van het rekenmachientje ligt.

Binomium

Voor degenen die het Binomium van Newton kennen (en beheersen): schrijf de eerste paar termen van de uitgewerkte macht maar eens op en vergelijk met de som voor 1/√e.

Be Sociable, Share!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

© 2011 TU Delft