Posted in April 2019

De koningin en de profeet

Via facebook kwam ik bij dit artikel uit The Poke: de Koningin van Engeland zou afstammen van de profeet Mohammed. Het refereert aan een stuk uit de Daily Mail van vorig jaar. Maar goed, is dit bijzonder?

Een nuttig gegeven in het artikel is dat we van de koningin 43 generaties terug moeten om bij de profeet te komen. Daar kunnen we mee rekenen.
Op deze pagina wordt met veel slagen om de arm geschat hoeveel mensen er ooit op aarde geleefd hebben. Dat zouden er zo’n 108 miljard zijn. Op die pagina staat een tabel met bevolkingsaaantallen voor diverse jaartallen. Daaruit kunnen we schatten dat er in de tijd van Mohammed niet veel meer dan 400.000.000 mensen op de hele aarde leefden.
Aan de andere kant: als we vanuit om het even welk persoon 43 generaties terug in de tijd gaan en consequent bij elke voorouder de naam van de vader en moeder op zouden schrijven, dan bevat elke nieuwe generatie twee keer zoveel namen als de voorgaande: twee ouders, vier grootouders, acht overgrootouders, enzovoort. De 43ste generatie bevat dan 243=8.796.093.022.208 namen.

Wat dan overduidelijk is dat er heel wat personen meer dan één keer in die 43ste generatie genoemd zullen worden: gemiddeld ruim 20.000 maal. Als je zo naar die getallen kijkt wordt het hoogst onwaarschijnlijk dat Mohammed niet een voorouder van de koningin is.
Er zijn natuurlijk geografische omstandigheden die personen uit bepaalde gebieden wat onwaarschijnlijker als voorouder maken, maar er is altijd veel verkeer tussen Europa en de Arabische wereld geweest. Ik hou het er op dat het helemaal niet bijzonder is dat er een lijntje loopt van Mohammed naar Elizabeth. Het zou wel knap zijn als ze echt zo’n lijntje zouden hebben gevonden.

Exacte oplossingen

Een veel voorkomende vraag op de wisfaq is: “Hoe los ik … op?” Op de plaats van de puntjes staat dan een vergelijking die maar niet tot een mooie oplossing wil leiden, zoals bijvoorbeeld -x2+4x-3 = sin(x). Het antwoord op de vraag is vaak: “Het kan niet exact, doe maar een numerieke benadering.” Maar wat betekent `exact’ eigenlijk?

Heel veel wiskundesommen komen uiteindelijk neer op het oplossen van een vergelijking, het invullen van een of meer getallen in een of andere uitdrukking, en/of het daarna vereenvoudigen van de uitkomst tot …, tot wat eigenlijk? Tot een compacte overzichtelijke uitdrukking waarvan wellicht ook makkelijk te controleren of het een oplossing van het probleem is. Wat een compacte overzichtelijke uitdrukking is varieert met de tijd. Het begint met natuurlijke getallen; een antwoord als `3′ is duidelijk en je kunt waarschijnlijk natellen of het klopt. Vrij snel komen (positieve) breuken bij het verdelen van dingen (traditioneel taarten) over personen: drie taarten over vijf personen eerlijk verdelen levert iedereen 3/5 taart op. Nog later komen er negatieve getallen bij, meestal uitgelegd als `schuld’.

Dat is allemaal nog redelijk overzichtelijk maar dan wordt het spannender: als je een vierkant met een oppervlakte van 2 m2 wilt maken dan heb je niks aan al die breuken, positief of niet. Om praktische redenen is het wel gewenst de lengte van de zijden van dat vierkant te benoemen, en dat heeft geleid tot een van de eerste afkortingen die je bij de wiskunde leert: √2. Dat getal is echt nieuw, niet te weer te geven als een breuk. Er is zelfs een heel Zebraboekje aan √2 gewijd.

Het interessante is dat na verloop van tijd dat symbool √ heel vertrouwd wordt en dat we het accepteren als ingredient in die `compacte overzichtelijke’ uitdrukkingen. Met de abc-formule als eerste hoogtepunt. Ondanks het feit dat √D niet meer is dan een afkorting van “het positieve reële getal waarvan het kwadraat gelijk is aan D”.

Een andere bekende afkorting is natuurlijk π: de verhouding tussen omtrek en diameter van een cirkel. Ook π is niet als breuk uit te drukken, erger nog: met π is algebraïsch helemaal geen goed garen te spinnen. Maar π komt in zoveel uitkomsten en formules voor dat het onderhand een vertrouwde vriend geworden is.

Op de middelbare school en later stijgt het aantal `vertrouwde vrienden’ snel, via allerlei nieuwe functies als sinus, cosinus, e-macht, logaritme, … Zo is de lengte van het stukje van de parabool met vergelijking y=x2 tussen de punten (0,0) en (1,1) gelijk aan


en niemand knippert met de ogen. Als je de echte betekenis van die uitdrukking wilt achterhalen zul je vrij diep de wiskunde in moeten duiken want hij hangt van afkortingen aan elkaar.

Even terug naar de vergelijking aan het begin. Heeft die vergelijking wel oplossingen? Ja, daar kun je je van overtuigen door de grafieken van het linker- en rechterlid even te schetsen; je ziet dan dat er een intervalletje is waarop -x2+4x-3 groter is dan sin(x) en de eindpunten van dat intervalletje zijn de oplossingen van de vergelijking. Is er een formule voor de linkeroplossing? Ja:


deze komt direct uit het bewijs van de tussenwaardestelling. Die stelling zegt dat dat minimum bestaat, noem het even a, en dat a daadwerkelijk aan de vergelijking voldoet. Voor wie dit geen mooie formule vindt, bedenk dan dat √2 niets meer is dan een afkorting voor


hetwelk volgens diezelfde tussenwaardestelling bestaat.

Met a en √2 is goed te werken; je kunt ze in allerlei uitdrukkingen stoppen en die weer proberen te vereenvoudigen. In het geval van √2 vervang je telkens (√2)2 door 2; probeer maar eens aan te tonen dat


Wat a betreft: telkens als je sin(a) ziet kun je daar -a2+4a-3 van maken (of omgekeerd); dat gebeurt niet zo vaak en daarom zal a lang niet zo vertrouwd worden als √2 dat al eeuwen is.

© 2011 TU Delft