KP Hart

KP's ramblings

Servetringen en Cavalieri

In haar laatste column voor de vakantie gaf Ionica Smeets de lezers een puzzel van Martin Gardner mee. Dit stukje gaat over een aspect van de puzzel dat in de column een beetje onbelicht blijft maar dat wel de sleutel tot een oplossing `uit-het-hoofd’ is.

Het probleem gaat als volgt: neem een bol en boor daar een cilindrisch gat in en wel zo dat je een servetring overhoudt die 6 cm dik is. Vraag: wat is het volume van die servetring. NB de as van de cilinder gaat door het middelpunt van de bol; de servetring is dus echt een ring.

Je kunt dat volume op een paar manieren bepalen. Leerlingen die wiskunde B hebben gedaan weten hoe ze volumes van wentellichamen met behulp van integralen uit kunnen rekenen. Als je toevallig wat formules voor volumes van bepaalde delen van een bol paraat hebt reken je het ook zo uit. Wat opvalt als je zo’n weg volgt is dat de straal van de bol er kennelijk niet toe doet. Dit is waarom Ionica dit een krankzinnig raadsel noemt: het lijkt of er een gegeven ontbreekt, namelijk de straal van de bol, maar achteraf blijkt dat niet zo te zijn. Dat had je dan op het spoor van een oplossing `uit-het-hoofd’ kunnen zetten: in de vraag wordt de straal niet genoemd, dan doe die er kennelijk niet toe, maar dan kan ik ook een heel makkelijk geval bekijken.

Maar goed, waarom doet die straal er niet toe?
De leerlingen die het volume met behulp van integralen gaan uitrekenen zien het meteen: in de integraal die uitgerekend moet worden is de straal van de bol verdwenen (hij komt twee keer in het kwadraat voor, maar die kwadraten worden van elkaar afgetrokken).
En wat doet iemand die niet kan integreren? Die gebruikt iets dat teruggaat tot Archimedes maar dat tegenwoordig bekend staat als het principe van Cavalieri.
Leg zo’n servetring op de grond en doe alsof het middelpunt van de bol op hoogte 0 ligt (zie het plaatje in de column). Snij nu de servetring met een wiskundige kaasschaaf in flinterdunne plakken. Bekijk de ringvormige plak op hoogte z. Die ring heeft een buitenstraal en een binnenstraal. De buitenstraal is gelijk aan √(R2-z2) en de binnenstraal is gelijk aan de straal van de cilinder en die is gelijk aan √(R2-32). De oppervlakte van de ring is dan gelijk aan π(R2-z2-R2+32) ofwel π(32-z2) en dat is onafhankelijk van de straal van de bol.
Het principe van Cavalieri zegt, toegespitst op dit geval: als je twee lichamen hebt van gelijke hoogte en op elke hoogte zijn de oppervlakten van de horizontale plakken uit de lichamen even groot dan zijn de volumes van de lichamen aan elkaar gelijk.

En daarom kun je volstaan met het probleem in een heel speciaal geval op te lossen.

Bijna twintig jaar geleden stond in Pythagoras een stukje over de manier waarop Cavalieri zijn principe gebruikte om oppervlakten te bepalen.

Het klinkt wel mooi dat principe van Cavalieri maar klopt het eigenlijk wel? Hoe zou je het bewijzen? Dan komen we vanzelf uit op de vraag wat `volume’ eigenlijk betekent. Na veel nadenken is daar een werkbare definitie van gegeven en gaat het bewijs van het principe via de integraal die de wiskunde-B-ers voor de oplossing van Gardner’s probleem zouden kunnen gebruiken.

Mathsplaining

Gisteren gebruikte Aafke Romeijn in een tweet de frase mansplaining tot de macht oneindig. Ik kon nog net virtueel op mijn tong bijten maar nu moet ik toch even aan het mathsplainen.

Dat “tot de macht oneindig” klinkt wel indrukwekkend maar de kans is groot dat je er niet mee bereikt wat je wilt. Want wat betekent “tot de macht oneindig” eigenlijk? Wiskundig dan. En wat betekent “oneindig”? In dit geval zullen we het maar op het ∞ van de Analyse houden. Dan betekent “mainsplaining tot de macht oneindig” niets anders dan “de limiet van mainsplainingn voor n naar ∞”.

OK, maar dan moeten we dus eerst betekenis hechten aan “mansplaining-kwadraat”,
“mansplaining tot de derde macht”, … en vervolgens het gedrag van die machten van mansplaining bestuderen. Tsja, en dan komt het: hoe vermenigvuldig je mansplaining met zichzelf? Wiskundig betekent het woord niets maar we kunnen wat vermenigvuldigbare zaken langslopen.

We kunnen getallen vermenigvuldigen, en dus ook machtsverheffen. Maar dan komt het: is mansplaining negatief? Voor velen wel, denk ik. Jammer dan, maar dan is het kwadraat positief, de derde macht negatief, de vierde macht positief, … dan kun je het schudden: de limiet bestaat niet. Tenzij, …, je vindt dat mansplaining eigenlijk wel zielig is en weinig waarde heeft, zeg absolute waarde kleiner dan 1. Dan convergeren die machten naar 0 en dan is mansplaining tot de macht oneindig dus gelijk aan 0. Ik weet niet of dat Aafke Romeijn voor ogen stond.

Mansplaining is natuurlijk irreëel en irrationaal; dat lijkt wiskundig niet goed te gaan maar je kunt het interpreteren als “een complex getal met irrationaal argument”. Wiskundigen zien hier meteen een woordspeling: het woord `argument’ heeft in de wereld van de complexe getallen zijn geheel eigen betekenis. Dan leidt machtsverheffen tot een duizeligmakend ronddraaien; het hangt van de absolute waarde af of dit naar 0 convergeert, of naar ∞, of zonder limiet de eenheidscirkel blijft rondlopen. (Om andere mathsplainers de wind uit de zeilen te nemen: dat argument is een irrationaal veelvoud van π.)

Een mansplainer projecteert zijn eigen meningen en gedachten op hetgeen hij aan het mansplainen is. Dat leidt tot een wat merkwaardige situatie: wiskundig is het kwadraat van een projectie de projectie zelf. En dus is elke macht van mansplaining gelijk aan mansplaining zelf, met als conclusie dat mansplaining tot de macht oneindig gewoon mansplaining is. Eigenlijk wel een mooie conclusie: mansplaining is al zo erge flauwekul dat het zijn eigen oneindige macht is.

Wiskunde B (vwo): eerste en tweede zitting

Er was de laatste dagen nogal wat ophef over het verschil in niveau tussen de eerste en tweede zitting van het eindexamen Wiskunde B (vwo). Tijd voor een vergelijking.

Ik heb die beide examens gemaakt en mijn uitwerkingen, met commentaar, via dit blog bekend gemaakt: kijk hier voor de eerste en hier voor de tweede zitting. Ik kreeg de vraag of mij het niveauverschil tussen de beide examens niet was opgevallen.

De eerlijkheid gebiedt mij te bekennen dat ik de vragen van de eerste zitting al weer vergeten was toen die van de tweede zitting bekeek. Ik heb de beide examens, en mijn uitwerkingen, nog eens naast elkaar gelegd om te zien wat de verschillen waren.

Bij oppervlakkige lezing zijn de examens nogal verschillend: de `contextvragen’ hebben geheel verschillende onderwerpen en de manieren waarop zaken als differentiëren, integreren en analytisch meetkundige zaken worden aangesneden zien er anders uit.

Maar dat is aan de oppervlakte; als je wat dieper/verder kijkt zie je dat de onderliggende wiskunde ongeveer gelijk is. Herstel: ik zie dat er weinig verschil is. Ik heb lijstjes gemaakt met wat gedaan moest worden en hoe moeilijk het was om het te doen. En ik kon niet echt een groot verschil zien.

De vraag is dan waarom de tweede zitting zoveel moeilijker gevonden werd dan de eerste. Voor mij werd dat duidelijk na een reactie op mijn blogpost over de tweede zitting: Valerie wijst er terecht op dat ik een beroepswiskundige met veel ervaring ben en ze legt de vinger op een zere plek die ik niet eens opmerkte: de uitgebreide inleidingen die voor mij de sommen nogal flauw lieten worden zorgden kennelijk bij veel leerlingen voor verwarring.

Als je op deze manier naar de examens kijkt kun je wel degelijk grote verschillen aanwijzen. Neem bijvoorbeeld de openingsvragen. Bij de eerste zitting: zonder veel omhaal van woorden word opgeschreven wat gedaan moet worden. Bij de tweede zitting: vooral bij vraag 2 een lange inleiding die waarschijnlijk voor velen versluierde dat je alleen maar de gegeven functie h in 0 hoefde te differentiëren.

Bij de eerste zitting waren vragen 3, 4, en 5 ook lekker kort en krachtig; bij de tweede zitting waren deze ingebed in grote stukken tekst over smeltende bolletjes ijs. Ik kan me voorstellen dat alleen al door deze verschillen aan het begin de tweede zitting als zwaarder werd ervaren dan de eerste.

Eindexamen Wiskunde B (2018-06-20)

Gisteren was de tweede zitting van het eindexamen Wiskunde B van het vwo (correctievoorschrift). Hier is mijn uitwerking, met commentaar (en de gebruikte Maplecommando’s).

Ik vond het examen, net als dat van het eerste tijdvak niet echt uitdagend; er was weer één situatie-met-context, dit keer een smeltend ijsbolletje. Ook deze keer werden de sommen uitgebreid ingeleid en was de eigenlijke opgave telkens teleurstellend eenvoudig.

Het Compactheidsbeginsel

Twee recente artikelen op Kennislink hebben iets gemeen. Dat gemeenschappelijke is een belangrijk stuk gereedschap uit de Wiskunde dat bekend staat als het Compactheidsbeginsel.

In 2016 werd een kleuringsprobleem voor de natuurlijke getallen opgelost: is het mogelijk de natuurlijke getallen in tweeën te delen op zo’n manier dat beide delen geen enkel Pythagoreïsch drietal bevatten? Het antwoord is: “nee”. Zoals op Kennislink te lezen is is er iets meer ontdekt: bij elke verdeling van {1,2,3,…7825} in twee delen moet een van de delen een Pythagoreïsch drietal bevatten en er is een verdeling van {1,2,3,…,7824} waarbij geen van de beide delen een bevat.
Voor de goede orde: een Pythagoreïsch drietal is een drietal natuurlijke getallen (a,b,c) dat voldoet aan a2+b2=c2. Ook wordt het probleem vaak in termen van kleuringen geformuleerd: de verdeling wordt weergegeven door elk natuurlijk getal rood of blauw te kleuren.

Begin van deze maand werd vooruitgang geboekt bij een kleuringsprobleem in het platte vlak: in hoeveel verzamelingen moet je de punten in het vlak minimaal verdelen opdat geen enkel deel twee punten bevat die afstand 1 hebben. Er was lang bekend dat dat minimale aantal ten minste 4 en ten hoogste 7 is; nu is bekend dat het ten minste 5 moet zijn. Okk hier is al aan een eindige verzameling punten te zien dat bij elke verdeling in vier stukken er altijd een stuk is dat twee punten met afstand 1 bevat.

Waarom is dat? Het zou toch bij het eerste probleem zo kunnen zijn dat bij verschillende kleuringen de drietallen één kleur krijgen steeds hoger in de natuurlijke getallen moeten zitten. Maar kennelijk is het zo dat, ongeacht de kleuring er al een éénkleurig drietal is in {1,2,3,…,7825}.

Het geheim is een stelling van De Bruijn en Erdös; deze zegt dat bij elk kleurings probleem het volgende geldt: als elke eindige verzameling een `goede’ kleuring heeft dan is er een `goede’ kleuring voor de hele verzameling. Dat kun je ook als volgt contrapositief formuleren: als elke kleuring van de hele verzameling `slecht’ is dan is er een vaste eindige verzameling waarvoor elke kleuring `slecht’ is. In April 2014 is over deze stelling een artikel in Pythagoras verschenen.

Het voordeel van dit Compactheidsbeginsel is dat men voor positieve resultaten alleen naar eindige verzamelingen hoeft te kijken; dat kan de bewijzen aanzienlijk vereenvoudigen. Het nadeel is dat het niet constructief is: het geeft geen enkele informatie over de grootte van de vaste eindige verzameling waarvoor elke kleuring `slecht’ is. Dat laatste is te zien aan de resultaten waarover op Kennislink bericht werd; de zoektochten naar de eindige verzamelingen en de verificaties dat ze werkten kostten veel tijd en moeite.

Eindexamen Wiskunde B (vwo) (2018-05-14)

Ik heb gisteravond snel het examen gemaakt en becommentarieerd. Hier is een link naar mijn PDF. Ik had niet veel tijd dus ik kan fouten gemaakt hebben (laat het mij weten).

Ik vond het examen niet echt uitdagend. Er was niet veel context en die van de Sheffield Winter Garden leek er met de haren bijgesleept. Aan de andere kant waren de formuleringen wel erg uitgebreid en bleef er vaak niet meer over dan een (soms lastige) invuloefening.`

Het vlak kleuren

Vorige maand (april 2018) is er een stap gezet op weg naar de oplossing van het volgende probleem: “hoeveel kleuren heb je nodig om de punten van het vlak te kleuren en wel zo dat punten op afstand 1 verschillende kleuren krijgen. De titel van het artikel in de Volkskrant is misleidend want het probleem is nog niet opgelost; de titel van het stuk in NRC is correct.

Beide stukken waren niet zo duidelijk als men wellicht hoopte, getuige bijvoorbeeld de commentaren in de facebookgroep ‘Leraar Wiskunde’. De opmerkingen over de voorbeelden in de Volkskrant werden niet altijd begrepen en de pixelmetafoor in NRC leidde tot misverstanden over de aard van het probleem.

Wat bekend was over het probleem tot vorige maand was het volgende. Door middel van een betegeling van het vlak met behulp van regelmatige zeshoeken met diameter 1 kun je een kleuring met zeven kleuren maken. Hierbij moet je wel precies zijn: bij elke zeshoek neem je de randpunten van zes uur tot twaalf uur mee (inclusief zes uur exclusief twaalf uur) en laat je de andere randpunten weg. Elke tegel krijg namelijk een kleur en op deze manier vermijdt je dat randpunten op afstand 1 dezelfde kleur krijgen.

De voorbeelden in het NRC-artikel zijn duidelijk: als je de punten van het vlak met twee kleuren kleurt dan zijn er in een gelijkzijdige driehoek met zijden 1 al twee punten met dezelfde kleur. Daarnaast is er een configuratie van zeven punten te zien waarvoor bij elke kleuring met drie kleuren twee punten met afstand 1 zijn die dezelfde kleur krijgen.

Het nieuwe is een configuratie van 1581 punten, gevonden door Aubrey de Grey waarin hetzelfde geldt, maar nu voor vier kleuren; dus, hoe je die punten ook kleurt met vier kleuren er zullen er altijd twee zijn met afstand 1 en dezelfde kleur. Inmiddels is 1581 teruggebracht tot 633.

De pixelmetafoor uit NRC leidde tot een onderschatting van het probleem; dat kwam door een subtiel verschil tussen pixels en de punten van het vlak: in tegenstelling tot pixels hebben punten in het vlak geen directe buren en geen oppervlakte, ook zijn ze niet vierkant. De echte formulering van het probleem vraagt naar het kleinste natuurlijke getal n met de eigenschap dat er een functie van het vlak naar {1,2,…,n} is met de eigenschap dat als d(x,y)=1 dan f(x)≠f(y). Daar komt geen verf of kwast aan te pas en de vorm of oppervlakte van een punt is ook niet van belang.

Achter de voorbeelden die laten zien dat een bepaald aantal kleuren niet volstaat zit een stelling van De Bruijn en Erdös: als elke eindige deelverzameling van het vlak een goede kleuring met k kleuren toelaat dan laat het vlak ook een goede kleuring toe. Met andere woorden: om te laten zien dat er geen goede kleuring is moet je een eindige verzameling zonder goede kleuring vinden.

Overigens zou dit nog tot twee verschillende oplossingen van het probleem kunnen leiden: de stelling van De Bruijn en Erdös geldt onder aanname van het keuzeaxioma. In dit artikel van Shelah en Soifer is te lezen dat de aard van de gevraagde functie het antwoord kan beïnvloeden. Lang voor het werk van De Grey was bekend dat een Lebesgue-meetbare kleuring ten minste vijf kleuren zou vergen. NB de laatste stelling in het artikel van Shelah en Soifer is nu achterhaald.

Ten slotte: houd de Wikipediapagina over dit probleem in de gaten.

Toevoeging (2018-05-14): het hieronder in een reactie genoemde artikel op Kennislink is ook zeer informatief.

Did Thanos kill me?

Some of you may have seen Avengers: Infinity War already, some may have not. Via Geek Girl Authority I found this website: www.didthanoskill.me/. There you can check whether you will survive the carnage at the end of the movie.

As is to be expected the decision process is not very sophisticated:

if (randomNumber < 0.5) {
   displayElement.textContent = "You were slain by Thanos, 
                            for the good of the Universe.";
 } else {
   displayElement.textContent = "You were spared by Thanos.";
 }

But, can you escape your fate by reloading the page? Actally, no.
The script first retrieves a cookie:

var randomNumber = getCookie("thanosNumber");

If that number exists it will be used in the decison process, so the random number is generated on your first visit and re-used on each next reload. My `thanosnumber’ is 0.3461087295578963, so I’m a goner.

I also checked whether the process is fair; it is on this page you can read that the random number is in the interval [0,1) (including 0, excluding 1). That means that, even accounting for the finite precision, half the numbers can be expected to be less than ½.

To see why excluding 1 mighyt matter think of a machine with a very low precision, say two binary digits. This means that the random numbers would be chosen from these four: .00, .01, .10, .11 (that is: 0, ¼, ½, ¾,). Clearly your probability of survival would be 2/4, i.e., one half. On the other hand, if 1 were als a possible outcome then your survival probability would be 3/5.

For the population of the Earth and with the precision suggested by my thanosnumber including 1 or not would not make much difference.
Since there are no more that 1010 people and the thanosnumbers have a precisioon of 16 digits the difference in the order of 10-6 person.

Wat is een verzameling? II

We zetten de zoektocht naar het begrip `verzameling’ voort.

In de vorige blogpost hebben we de definities die Bolzano en Cantor van `verzameling’ gaven geciteerd. Die kwamen eigenlijk neer op “een verzameling is een verzameling”. Nu is het nogal lastig om een definitie van verzameling in woorden op te schrijven zonder te vervallen in synomiemen maar het kan wel.

Rond de eeuwisseling (die van 1900) begon men ernstig over de aard van definities na te denken. De eerste stap was het vastleggen van de taal waarin die definities vastgelegd zouden worden. En met `taal’ bedoelde men niet zoiets als Grieks, Latijn, of Swahili maar een meer formele constructie. Deze gaat uit van een beperkt aantal symbolen. Sommige zijn algemeen, zoals ∧ (en), ∨ (of), ¬ (niet), ∀ (voor alle) ∃ (er is) enzovoort; en sommige zijn specifiek voor het onderhavige onderdeel van de wiskunde, in de verzamelingenleer kunnen we toe met ∈ (is element van) en = (is gelijk aan).

In deze taal kunnen we vrijwel alles beschrijven wat we willen. De taal is sterk genoeg om dingen als

  • “x is een priemgetal”
  • “x is een reëel getal”
  • “x is een rechte lijn in het vlak”

en nog veel meer uit te drukken. Op deze manier kunnen we afspreken dat we iets alleen een verzameling noemen als het bestaat uit x-en met een eigenschap die in onze taal is uit te drukken. Dus
{x : x is een priemgetal}
is een verzameling (waarbij “x is een priemgetal” in de taal is geformuleerd). Dit komt vrij dicht in de buurt van Cantor’s definitie van verzameling: de accolades {} representeren de `Zusammenfassung zu einen Ganzen’, en we hebben `Annschauung’ en `Denken’ vervangen door `beschrijfbaar in de taal’.

De lege verzameling ∅ is uit te drukken door {x : x≠x} en telt dus mee als verzameling. Andere dingen leken iets dubieuzer, zoals {x : x=x}, de verzameling, V, van alle verzamelingen(?). Die gaf aanleiding tot een paradoxale toetand: Cantor had bewezen dat elke verzameling strikt minder elementen dan deelverzamelingen heeft (zie deze en de daarop volgende post voor de betekenis van meer en minder), maar voor deze V geldt dat niet, want elke deelverzameling is automatisch ook een element.
De oplossing, van Cantor, was onderscheid te maken tussen gewone en `oneigenlijke’ verzamelingen. En V was dus oneigenlijk; te groot om als gewone verzameling mee te tellen. Dat dit niet de schoonheidsprijs verdient lijkt me duidelijk want wie bepaald wat gewoon en oneigenlijk is?

Het kon nog erger: Bertrand Russell schreef de volgende verzameling, R, op: {x : x∉x}. Deze R leidt tot een wel heel eenvoudige paradox/tegenspraak, namelijk “$R∈R dan en slechts dan als R∉R”. Hier zijn geen diepe stellingen voor nodig; de afspraak hierboven was vanaf het begin al dubieus.

De uiteindelijke oplossing kwam van Ernst Zermelo. Deze formuleerde een een lijst axioma’s (spelregels) die we in acht moeten nemen als we met verzamelingen omgaan. Deze geven vooral aan hoe nieuwe verzamelingen uit oude gevormd kunnen/mogen worden. Die regels zijn redelijk natuurlijk; zo mogen we, gegeven twee verzamelingen x en y de verzameling {x,y} vormen.
Een van de belangrijkste regels is het Afscheidingsaxioma; dit zwakt onze eerste beschrijving wat af. Als x een gegeven verzameling is en φ is een formule in onze taal dat is {y:y∈x ∧ φ} weer een verzameling. Het verschil is dus dat we al een verzameling moeten hebben en daarbinnen elementen met een bepaalde eigenschap bijeen nemen.
Wat voor veel mensen in begin nog even wennen is is dat elk individu waar uitspraken over worden gedaan een verzameling is. Dus de elementen van verzamelingen zijn zelf ook weer verzamelingen enzovoort. Dat impliceert ook dat dingen als natuurlijke en reële getallen beschrijvingen krijgen die niet lijken op wat we gewend zijn maar dat went uiteindelijk wel.

Maar goed, dit leidt dan tot de volgnde definitie van verzameling: iets waarvan het bestaan uitgaande van de axioma’s te bewijzen is.
En wat dan allemaal uitgaande van die axioma’s mogelijk is kunt u in elk boek over Verzamelingenleer lezen en ook in het dictaat van de cursus Verzamelingenleer die ik zelf gegeven heb.

Wat is een verzameling? I

De Wiskunde is doordrenkt van verzamelingen. Nagenoeg elke definitie van een te bestuderen structuur — groep, graaf, interval, … — begint met “een verzameling die …”. De taal en de methoden van de Verzamelingenleer helpen dan ook vaak bij het efficiënt formuleren en noteren van resultaten.

Hierbij gaat men voor het gemak voorbij aan het feit dat de vraag “Wat is een verzameling?” nog niet beantwoord is. Dat klinkt merkwaardig want we herkennen een verzameling wel als we er een zien: postzegels, boeken, vingerhoedjes, …, je kunt het zo gek niet bedenken of iemand heeft er wel een verzameling van.

Echter, in de Wiskunde houden we van precieze definities, zodat op elk moment duidelijk is waar we het over hebben. Hier is een waarschuwing op zijn plaats, mooi geïllustreerd door het volgende citaat

1005. Die Mathematiker sind eine Art Franzosen; redet man mit ihnen, so übersetzen sie es in ihre Sprache, und dann ist es alsobald ganz etwas anderes.
Johann Wolfgang von Goethe,
Maximen und Reflexionen, Nachlass, Über Natur und Naturwissenschaft

Ik heb niet de illusie te weten wat Goethe hier zelf mee bedoelde en door nadere bestudering van zijn is dat wellicht te achterhalen maar ik vind de uitspraak op zichzelf al treffend genoeg. Veel definities van wiskundige begrippen beantwoorden niet aan het idee dat de niet-wiskundige er van heeft.

Hoe zit dat met het begrip `verzameling’? Hoe kijken we daar wiskundig tegenaan. Een van de eersten die een definitie van `verzameling’ formuleerde was Bernard Bolzano.

Einen Inbegriff, den wir einem solchen Begriff unterstellen, bei dem die Anordnung seiner Theile gleichgültig ist (an dem sich also nichts für uns Wesentliches ändert, wenn sich bloss diese ändert) nenne ich eine Menge.
Bernard Bolzano,
Paradoxien des Unendlichen (1851)

Een andere definitie vinden we bij Georg Cantor.

Unter einer ,Menge` verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objecten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ,Elemente` von M genannt werden) zu einem Ganzen.
In Zeichen drücken wir dies so aus:

M = {m}

Georg Cantor,
Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (Erster Artikel) (1895)

Het is, denk ik, geen toeval dat het begrip `Menge’ gedefinieerd werd bij onderzoek naar het begrip `oneindig’. Op dat moment zijn eventueel gegeven relaties tussen de individuen in het geheel van ondergeschikt belang. Op een gegeven moment kies je uit een hele rij synoniemen — collectie, veelheid, Mannigfaltigkeit, aggregate, set, verzameling, … — er eentje en dat wordt dan de naam van het basisbegrip.

Wie de definities nauwkeurig leest ziet dat ze, eigenlijk, niets zeggen: beide gebruiken een synoniem, Inbegriff en Zusammenfassung, als definitie. Daarbij zegt de definitie van Bolzano expliciet en die van Cantor impliciet wat hierboven al is gezegd: bij een verzameling is de onderlinge relatie van de elementen niet van belang. Vlak voor de definitie gaf Bolzano het voorbeeld van een gebroken glas; dat vinden wij iets heel anders dan hetzelfde glas voor het gebroken was omdat de onderlinge relatie tussen de delen verstoord is, als verzameling — atomen, moleculen — is het niet veranderd.

De definities van Bolzano en Cantor hadden ongetwijfeld het doel zo scherp mogelijk af te bakenen over welke zaken er uitspraken gedaan werden. Bolzano nam daarbij een lange aanloop waarvan de definitie een samenvatting was.

Op een naïef niveau kun je met deze afspraken redelijk uit de voeten omdat er niet meer gebeurd is dan dat bekende gehelen nu het predicaat `verzameling’ opgeplakt hebben gekregen. Iets als {1,2,3,4,5} wordt door iedereen herkend als “de verzameling natuurlijke getallen van 1 tot en met 5”. En ook verzamelingen met een beschrijving als {n ∈ N : n ≤ 10100} herkennen we wel, mits we eerst hebben afgesproken dat N de verzameling der natuurlijke getallen voorstelt.

Waar de wiskunde en de dagelijkse praktijk uit elkaar lopen is bij de kleinste verzamelingen: de lege verzameling en de verzamelingen met één element. Als ik zeg dat ik een postzegelverzameling heb en ik laat een album zonder zegels zien dan gelooft niemand mij, ook niet als ik er één laat zien (vlak voor ik hem op een brief plak).

Wiskundig gesproken zouden dat volstrekt legitieme verzamelingen zijn ook al piept de buitenwacht nog zo hard. Bij het werken met en gebruik van verzamelingen komen die kleine verzamelingen zo vaak voor dat het heel vervelend wordt ze iedere keer uit te sluiten van het verzamelingschap. Denk aan vergelijkingen. Heel vaak wordt daar over de oplossingsverzameling gesproken en dat zou ineens niet mogen als er geen of maar één oplossing is? Kom nou!

Maar goed, dit alles gaat nog uit van de opvatting dat we verzamelingen herkennen als we ze zien. Het vertelt ons nog niet wat een verzameling is. Wat de moderne opvatting van verzameling is zien we volgende keer.

© 2011 TU Delft