KP Hart

Just another weblog

Herkansing Wiskunde B, 2017

Gisteren was de herkansing Wiskunde B, zie hier voor de opgaven.
Hier is mijn uitwerking met wat opmerkingen.

Raaklijnen aan de aarde, II

Vandaag los ik een belofte van gisteren in door te laten zien wat de twee vragen van gisteren gemeen hebben, naast het feit dat beide iets met raaklijnen aan het aardoppervlak te maken hebben.

De vraag naar de hoogte van het eindpunt van de rechte weg van John Körmeling leidde tot de formule

Gisteren stond er 3000 op de plaats van de w maar ik heb die w ingevoerd om de structuur van de formule duidelijk te maken. Ter herinnering R is de straal van de aarde.

De vraag over de wandeling van Zandvoort naar Scheveningen leidde tot

Hierin is α de hoek, in radialen, tussen de positievectoren (vanuit het middelpunt van de aarde) van Zandvoort en Scheveningen. Er geldt dat α=d/R, waar d de gelopen afstand is (gemeten langs het aardoppervlak natuurlijk).

Die formules lijken niet echt op elkaar maar voor een wiskundige met haast en zonder rekenmachine op zak zijn ze eigenlijk gelijk. Het punt is namelijk dat w/R en α erg klein zijn (en (w/R)2 nog kleiner). Voor kleine x gelden de volgende benaderingen.

en

Voor wie wat weet over Taylorpolynomen komen deze benaderingen niet als een verrassing. Voor wie die polynomen niet kent: de benadering van √(1+x) krijg je door je te realiseren dat (1+x/2)2=1+x+x2/4. Als x heel klein is is x2 nog veel kleiner en dat maakt de benadering goed genoeg. Voor de benadering van cos(x) zonder gebruik van de stelling van Taylor verwijs ik naar dit artikel in Pythagoras; daar wordt ook bekeken hoe goed die benadering eigenlijk is.

Als we de benaderingen gebruiken krijgen we de volgende benaderingen van de
twee hoogtes. Voor de weg:

Voor de hoogte aan het eind van de wandeling:

Voor deze laatste benadering doen we twee stappen: de teller wordt R×α2/2=d2/(2R). Nu moeten we nog met 1/(1-α2/2) vermenigvuldigen, maar voor kleine x geldt

dus vermenigvuldigen we met 1+α2/2 met als resultaat

Die laatste term is zo klein dat we hem weg mogen laten.
Als we de benaderingen toepassen krijgen we 0.706858347 voor de weg en 113.4114948 voor de wandeling. De verschillen met de antwoorden dan gisteren zijn in de orde van grootte van tienden van milimeters voor de weg en van milimeters voor de wandeling.

Waarom zou je die benaderingen maken? Een rekenmachientje geeft toch meteen een uitkomst, ook met de ingewikkelde formules? Het antwoord is tweeledig. Ten eerste heb je niet altijd een rekenmachine bij de hand en dat worden die formules wat bewerkelijk. Ten tweede, en dat is de eigenlijke reden: aan de benadering kun je vaak beter afzien hoe de uitkomst van de invoer afhangt. In beide gevallen hebben we gezien dat er een kwadratisch verband is: de grafiek van h als functie van w of d is nagenoeg een parabool.
Een ander voorbeeld van het werken met benaderingen is te vinden in dit artikel uit Pythagoras:
Een touwtje om de aarde.

Tot slot wat opdrachten.

Opgave 1. Bereken d4/(4R3); was het gerechtvaardigd die term weg te laten?
Opgave 2. Ga na dat de benadering ook werkt voor de diepte van de ingegraven weg.
Opgave 3. De benadering zijn, natuurlijk, niet exact. Ga na of ze de echte waarden over- of onderschatten (ook voor de ingegraven weg).
Opgave 4 Onderzoek hoe goed de benadering 1+x van 1/(1-x) is.

Raaklijnen aan de aarde, I

Zo af en toe kom ik een vraag tegen die opgelost kan worden door naar een raaklijn aan het aardoppervlak te kijken.

Op de website van De Ingenieur verscheen in januari een stuk over een project van de kunstenaar
John Körmeling: het aanleggen van een echt rechte weg. De bedoeling is dat de weg recht is in de zin van `een rechte lijn’: het wegoppervlak ligt dus in een raakvlak aan het aardoppervlak.

De weg van Körmeling (eigenlijk een schelpenpad) wordt zes kilometer lang, drie kilometer naar beide kanten vanuit het raakpunt. In het stuk wordt verteld dat de weg aan de uiteinden zo’n 70 centimeter boven het aardoppervlak komt te liggen. Ik kreeg van een lezer van Pythagoras de vraag of dat wel klopt; het leek wat weinig.

Op de wisfaq werd bijna hetzelfde gevraagd maar over iets grotere afstand: als ik van Zandvoort naar Scheveningen zou lopen over een rechte weg als die van Körmeling hoe hoog boven Scheveningen komt ik dan uit?

De vragen zijn bijna maar niet helemaal hetzelfde: bij de weg van Körmeling weten we hoe lang de rechte lijn zelf is, en bij de tweede vraag weten we de afstand langs het aardoppervlak. Dat heeft gevolgen voor de vorm van de oplossingen, zoals we zo dadelijk zullen zien.

Eerst een plaatje voor de rechte weg

Hier is R de straal van de aarde en h de hoogte van het uiteinde van de weg boven het aardoppervlak. De stelling van Pythagoras brengt hier uitkomst: de onbekende h moet voldoen aan (R+h)2=R2+30002. Als we dit naar h oplossen komt er

We zullen h zometeen uitrekenen maar eerst kijken we naar de wandeling van Zandvoort naar Scheveningen.

Eerst weer een plaatje

Nu weten we de lengte van het boogje, hier aangegeven met d. Voor de oplossing van het probleem is de hoek α ook van belang. Er geldt namelijk


en hieruit is h op te lossen:


De formules zien er inderdaad anders uit en beide kunnen makkelijk met (be)hulp van een rekenmachientje uitgewerkt worden. Voor R, de straal van de aarde, vullen we 40000000/(2π) m in (de omtrek van de aarde is namelijk per definitie 40000 km). Voor de hoogte van het uiteinde van de weg krijgen we iets meer dan 70 centimeter: 70,66479472 cm.
Mijn antwoord aan die lezer was dus: “Ja, het klopt.”
Margriet van der Heiden heeft er in haar rubriek Vormen en Getallen ook over geschreven:
NRC: 27-01-2017 (gedrukte versie: 28-01-2017).

Voor de wandeling van Zandvoort naar Scheveningen geldt dat de hoek α gelijk is aan d/R (we werken in radialen). Google maps geeft aan dat de wandeling van station Zandvoort naar de Pier van Scheveningen 38 km is, we nemen dus d=38000 m. Mijn rekenmachientje geeft aan dat we zo’n 113 m boven Scheveningen eindigen (113,4132864 volgens mijn rekenmachientje).

Morgen zullen we zien dat er minder verschil tussen de twee vragen zit als misschien lijkt, maar voor nu een paar opgaven.

Opgave 1: Als John Körmeling:de weg in zou (laten) graven hoe diep zou de weg dan in het midden liggen?

Opgave 2: Aangenomen dat het pad een meter breed wordt: hoeveel kubieke meter schelpen moet er aangevoerd worden?
Hoeveel grond zou weggegraven moeten worden bij de ingraafmethode?

Opgave 3: Bij de wandeling van Zandvoort naar Scheveningen is de afstand afgerond tot 38000 m.
Probeer andere waarden van d om te zien wat de invloed van die afronding op de hoogte is.
Vergroot/verklein d in stappen van 100 m bijvoorbeeld.

Eieren leggen

Hoeveel eieren zijn er nodig om een omelet om de aarde te bakken?

Vandaag (2017-06-12) in het economiekatern van De Volkskrant:

Elke dag leggen de 6,6 miljard legkippen op onze aardkloot een slordige
3 miljard eieren, genoeg op de hele planeet van antarctica tot de
Noordpool te verpakken in één luchtige reuzenomelet.

Eens even rekenen. De oppervlakte van de aarde is 4πR2, waarbij R de straal van de aarde is. Als we in (vierkante) meters willen rekenen dan geldt R=40000000/(2π).
Dat geeft, afgerond, een oppervlakte van 5,092958178×1014m2. Delen we dat door 3 miljard dan komen we uit op iets meer dan 169.765m2 per ei. Dat zou een vierkant van 412 bij 412 meter zijn.

Een XL ei uit de supermarkt verplaatst, inclusief schaal, 70 ml water. Onze omelet bestaat dus uit telkens 70cm3 ei, uitgesmeerd over die 169.765m2.
Na uitsmeren geeft dat een laag van wel 0,4×10-9 meter dik, zegt U maar 4 ångström.

Dat is een omelet van niks; om de aarde met een laag ei van 4mm dik te bestrijken, nog voor we gaan bakken, zullen we grofweg tien miljoen dagen moeten wachten — en met zijn allen geen enkel ei opeten.

Hieronder is de berekening te zien, uitgevoerd in Maple.

Berekening van de dikte van de laag ei

Berekening, alles uitgedrukt in meters.

Moeilijk bewijs(?)

Een paar weken geleden stond de volgende vraag op wisfaq.nl onder de titel Moeilijk bewijs.

Op een lijn zijn elf verschillende punten gegeven: P1,P2, …, P11. Voor elk tweetal punten geldt: de afstand tussen Pp en Pq is ten hoogste 1. Bewijs dat de som van alle (55) afstanden |PpPq| kleiner is dan 30.

Dat klinkt inderdaad moeilijk (55 afstanden niet groter dan 1 bij elkaar optellen en de som onder de 30 houden); tot je een plaatje tekent van alle elf punten van links naar rechts op die lijn. Voor die lijn kun je net zo goed de getallenlijn nemen en dan heb je elf getallen, P1,P2, …, P11 gerangschikt van klein naar groot (teken de situiatie maar even); De afstand tussen Pi en Pj is dan gewoon Pj-Pi als i<j. De situatie blijkt dan wat gunstiger: de grootste onderlinge afstand is P11-P1, de andere zijn kleiner (soms een stuk kleiner).

In groepen verdelen

Zo kun je bijvoorbeeld alle afstanden Pi+1-Pi voor i=1,2,…10 bij elkaar optellen en dat geeft P11-P1; toch mooi tien termen die samen niet meer dan 1 opleveren.

Vervolgens kunnen we alle afstanden Pi+2-Pi optellen, voor i=1,2,…,9. Dat doen we in twee groepen: voor de oneven i en voor de even i. We krijgen respectievelijk (P3-P1) + (P5-P3) + (P7-P5) + (P9-P7) + (P11-P9) = P11-P1 en (P4-P2) + (P6-P4) + (P8-P6) + (P10-P8) = P10-P2. De totale som is dus kleiner dan 2 (kleiner omdat P10-P2<1).

Als je de verschillen Pi+3-Pi gaat optellen, voor i=1,2,…,8, dan ontdek je dat je drie groepjes moet maken, elk met een som kleiner dan 1.

Bij de verschillen Pi+4-Pi krijg je vier groepen met een totale som kleiner dan 4.

Bij de verschillen Pi+5-Pi krijg je vijf groepen met een totale som kleiner dan 5.

Bij de verschillen Pi+6-Pi krijg je ook vijf groepen met een totale som kleiner dan 5: je krijg alleen P7-P1 tot en met P11-P5 omdat 6+6=12.

Dit loopt zo af, je krijg achtereenvolgens sommen die kleiner zijn dan 4, 3, en 2; aan het eind staat nog een keer P11-P1 en die is nioet groter dan 1.

Alles bij elkaar geteld is de totale som dus kleiner dan 1+2+3+4+5+5+4+3+2+1=30.

Kan het beter?

De 30 kan niet verbeterd: door P1 tot en met P6 heel dicht bij 0 te nemen en de rest van de punten heel dicht bij 1 kun je de totale som zo dicht bij 30 krijgen als je maar wilt.

Verder onderzoek

Probeer een formule op te stellen voor de kleinste bovengrens van de som van de ondelinge afstanden bij n punten.

Wat kunnen we zeggen als de punten in het vlak liggen? Alle ondelinge afstanden kleiner dan 1; hoe groot kan de som van die afstanden zijn?

Eindexamen wiskunde B pilot, 2017

Ik heb ook naar het Eindexamen wiskunde B 2017 (pilot) gekeken om te zien wat de nieuwe wiskunde B ons biedt.

Mijn uitwerkingen zijn hier te vinden. Dit examen is `kaler’ dan dat van het gewone wiskunde B, in die zin dat bijna alle vragen contextloos zijn. Er was overeenkomst: de vraag over rakende grafieken en die over brandveilgheid komen in beide examens voor.
Ik kreeg wel het gevoel dat de leerling iets meer bij de hand genomen wordt: veel vragen zijn zeer gericht en geven informatie (zoals uniciteit en vorm van oplossingen, en figuren) die ook gaandeweg de oplossing door de leerling gevonden/gemaakt had kunnen zijn. Van mij hadden de vragen iets opener mogen zijn.

Eindexamen Wiskunde A, 2017

Na het examen Wiskunde B heb ik ook eens naar het examen Wiskunde A gekeken.

Het is lang geleden dat ik iets van dat vak had gezien; het is immers niet iets wat je in het pakket van een aankomende TU-student verwacht. Ik heb de indruk dat er meer leesvaardigheid wordt getest dan wiskundige vaardigheid. De meeste vragen bleken, na veel leeswerk, niet meer dan rekensommen, met exponentiele en logaritmische functies, dat wel. Bij de kansrekening/statistiekopgaven was het rekenwerk voor de rekenmachine.
De opgaven staan hier.
Mijn uitwerkingen, met commentaar, zijn hier te vinden.

Eindexamen Wiskunde B 2017

Het Eindexamen Wiskunde B van 2017 was gisteren, 15 mei. Ik heb het gemaakt.

Het examen is op examenblad.nl te vinden. Het examen test een redelijk aantal vaardigheden: e-macht, logaritme, gonio, integraal- en differentiaalrekening, en meetkunde.
Hier zijn mijn uitwerkingen

What is `Finite’?

What does `finite’ mean, mathematically?

In February I talked about this in our Lunch Colloquium; you can read the slides of that talk here.
Some time later the editors of Machazine, the journal of our student association Christiaan Huygens, asked me to write something `mathematical’ for them. I decided to expand my talk into a short article for them, it is available here, for your edification.

Een `wiskundig’ probleem (deel 2)

Naar aanleiding van allerlei reacties, op Twitter, op de vorige post een paar losse opmerkingen.

1. Sommigen gaven 13 als antwoord bij 5+8, met de rechtvaardiging dat de tweede en derde gelijkheden gewoon fout waren. Dat vind ik eigenlijk de verstandigste oplossing: als je + schrijft dan bedoel je kennelijk `optellen’; niet raar doen dus.
2. Het meest gegeven antwoord is 45 en de gedachtengang zal veelal iets geweest zijn als: de onderlinge verschillen zijn 7 en 9, dus van 3 naar 4 zal dat 11 zijn, van 4 naar 5 dan 13, en dat brengt ons 45 als uitkomst bij 5+8.
2a. Als alternatief kun je proberen te reconstrueren wat de nieuwe betekenis van + kan zijn; het meest voor de hand ligt `de som van m*n en m’ (niet m*n+m opschrijven want + betekent niet meer `optellen’), ook dat leidt tot 45.
2b. Wat minder mensen kwamen met 32: die oplossing slaat 4 over en gebruikt het verschil 11 om de volgende uitkomst te bepalen.
2c. Een ander populair antwoord is 34, met als uitleg “tel de echte waarde van de som op bij de vorige uitkomst”. Als je dit zou toepassen met inachtneming van de tussenstap 4+7 zou je weer op 45 uitkomen.
3. In het tijdschrift Pythagoras, in de nummers van april 2009 (De IQ-formule) en juni 2009 (IQ-formule light), is uitgelegd hoe je systematisch bij een eindig rijtje getallen een formule kunt maken die het rijtje voortzet. In tegenstelling tot wat de titels van de artikelen suggereren zul je het met deze formules bij een IQ-test niet goed doen omdat de formule geen rekening houdt met de gedachten van de opstellers.
4. De formule uit de vorige post, met als resultaat 5@8=4754660328285, is eigenlijk niet meer dan de methode uit Pythagoras, maar dan met heel ingewikkelde input.
5. In dit boek (pagina’s 344 en 345) wordt het rijtjes-voortzettings-probleem statistisch aangepakt. Met Bayesiaanse argumenten wordt voor twee potentiële verklaringen bekeken welke de meest waarschijnlijke is. Ook daar de waarschuwing dat het nooit 100% duidelijk zal zijn wat de opsteller van het probleem echt gedacht heeft.

© 2011 TU Delft