KP Hart

KP's ramblings

Kwadratuur van de cirkel, II

Vorige keer hebben we bekeken wat `Kwadratuur van de Cirkel’ inhoudt in het kader van Euclidische Meetkunde. We hebben ook gezien dat kwadratuur van de cirkel niet mogelijk is met een passer en een latje. Deze keer gaan we bekijken of er andere manieren zijn om die kwadratuur uit te voeren.

Banach en Tarski

In het begin van de twintigste eeuw rees de behoefte om aan steeds meer deelverzamelingen van de getallenlijn, het vlak, en de ruimte respectievelijk een `lengte’, `oppervlakte’ of `volume’ toe te kennen. Om enige afstand tot de concrete meetkunde te bewaren begon men het woord `maat’ te gebruiken en de eerste die een goede definitie van `maat’ formuleerde was Lebesgue, in 1908.
Later is dit door anderen in zijn volle algemeenheid uitgewerkt maar in de bovengenoemde drie gevallen gebruiken we de Lebesgue-maat nog vrijwel zo als Lebesgue hem gedefinieerd heeft.
Voor bekende meetkundige figuren geeft de Lebesgue-maat de reeds bekende waarde maar voor willekeurige verzamelingen gaat het niet altijd even goed.

Een extreem voorbeeld hiervan werd gegeven door de Polen Banach en Tarski. Voortbouwend op werk van Hausdorff lieten ze zien dat men een massieve bol met straal 1 in eindig veel (vijf is genoeg) deelverzamelingen kan verdelen, en dat men daarna die eindig veel stukken in elkaar kan schuiven tot twee massieve bollen van straal 1. Wie met het artikel van Banch en Tarski in de hand nu een wonderbaarlijke vermenigvuldiging van één sinaasappel tot twee sinaasappels wil uitvoeren komt bedrogen uit.
De bollen zijn ideale wiskundige bollen, geen fysieke sinaasappels. En, en daar was het Banach en Tarski om te doen, de stukken waarin ze de bol verdeelden zijn zo lelijk dat er op geen enkele manier een maat aan toe te kennen is. Immers als dat wel mogelijk was dan zou 1+1=1 bewezen zijn.

Terug naar het vlak

De vraag is nu of de wonderbaarlijke vermenigvuldiging in het vlak ook mogelijk is. Dat bleek niet het geval. Als je een verzameling die een maat heeft in eindig veel deelverzamelingen verdeelt en als je die stukken, hoe lelijk ook, tot een andere verzameling in elkaar legt en die nieuwe verzameling heeft een maat dan zijn de maten van beide verzamelingen gelijk.

U voelt hem wellicht al aankomen: Tarski formuleerde een abstracte versie van `de kwadratuur van de cirkel’: kunnen we een cirkelschijf, zeg van oppervlakte 1, in eindig veel verzamelingen verdelen en die stukken weer in elkaar schuiven tot een vierkant van oppervlakte 1?

In 1990 beantwoordde Miklos Laczkovich deze vraag met “Ja”. De gebruikte stukken zijn vrij lelijk, maar ze hoeven alleen verschoven te worden, draaien hoeft niet. De kwadratuur van de cirkel is dus mogelijk, zij het met instrumenten die veel geavanceerder zijn dan een passer en een liniaal.

Iets over het woord `lelijk’. De ontdekkingen door Banach en Tarski en anderen van verzamelingen waaraan geen maat toe te kennen is leidden tot een vakgebied dat Beschrijvende Verzamelingenleer is gaan heten. Hierin worden verzamelingen geklassificeerd naar hun beschrijvingen; het `lelijk’ dat ik een paar keer gebruikt heb kan daar precies gemaakt worden: de verzamelingen van Banach en Tarski, en van Laczkowicz hebben, noodzakelijk, beschrijvingen die vele malen ingewikkelder zijn dan die van verzamelingen die je normaal tegenkomt als lijnen, krommen en andere herkenbare figuren.

En toch …

Aan het eind van 2016 kreeg dit verhaal nog een nieuw slot. Andrew Marks en Spencer Unger bewezen dat de kwadratuur van de cirkel met stukken gedaan kan worden die in de Beschrijvende Verzamelingenleer als zeer mooi zouden worden aangemerkt, de technische term is “van Borel-complexiteit ten hoogste vier”. Voor U naar de winkel holt om deze `heel mooie’ legpuzzel aan te schaffen: hoewel de stukken in het grote geheel van de deelverzamelingen van het vlak redelijk eenvoudig zijn, zijn ze nou ook weer niet zo makkelijk met de hand te maken en vast te pakken.
Daar komt nog bij dat er wel een heel grote doos nodig is om alle stukken in te bewaren: bij een lezing over dit resultaat werd Andrew Marks naar het aantal benodigde stukken gevraagd; zijn antwoord: in de orde van grootte van 10220. Dat is dus een Googol in het kwadraat, maal nog een keer 1020.

Verder lezen

Veel van wat hierboven is beschreven is uitgebreid na te lezen in The Banach-Tarski Paradox (second edition) van Grzegorz Tomkowicz en Stan Wagon uit 2016. Het resultaat van Marks en Unger is daar nog niet te vinden; `Borel circle-squaring’ is nog één van de grote open problemen in het boek. Wie zin heeft kan het artikel te pakken krijgen via arxiv.org.

Kwadratuur van de cirkel, I

`De kwadratuur van de cirkel’ is voor velen een metafoor voor onmogelijkheid en/of futiliteit; in het Engels is `circle-squarer’ een gangbare term voor iemand die iets onmogelijks voor elkaar probeert te krijgen.
Toch is het recentelijk gelukt: gegeven een cirkelschijf een vierkant maken met dezelfde oppervlakte, en wel door die schijf in een eindig aantal stukken te knippen, die op te schuiven en weer aan elkaar te leggen tot dat vierkant.
In de komende blogposts zal ik het verhaal van het probleem en de oplossing vertellen.

Lang geleden zag ik een cartoon waarop een passer te zien was die ‘s avonds op straat tegen een muur (of lantaarnpaal) geleund stond te dromen. In het droomballonnetje was een vierkant te zien. Ik heb die cartoon uitgeknipt en lang bewaard maar hij moet bij een verhuizing verloren zijn gegaan want ik kan hem niet meer vinden.

Nu kan je die cartoon op diverse niveaus waarderen maar voor mij was het een mooie illustratie bij een beroemd onmogelijkheidsbewijs uit de wiskunde: het is niet mogelijk met behulp van passer en liniaal bij een cirkelschijf met straal 1 een vierkant te maken met precies dezelfde oppervlakte als die schijf.

Euclides en Archimedes

Waarom `passer en liniaal’? Dat komt voort uit De Elementen van Euclides. Daarin wordt de Meetkunde opgebouwd vanuit een beperkt aantal uitgangspunten, waaronder de beroemde vijf postulaten. In de bewijzen worden alleen stappen gezet die in die postulaten beschreven zijn:

  1. Gegeven twee punten trek de lijn door die twee punten.
  2. Gegeven twee punten trek een cirkel door één van de punten en
    met het andere punt als middelpunt.

Euclides formuleerde de eerste stap in twee postulaten: je kunt de twee punten verbinden met een lijnstuk en dat lijnstuk kun je willekeurig verlengen; in redeneringen is het wat makkelijker in één keer die (oneindig lange) lijn getekend te denken. Deze twee stappen kunnen uitgevoerd worden met een liniaal en een passer, vandaar `passer en liniaal’. Overigens heeft die liniaal geen schaalverdeling en daarom spreken sommige boeken, om verwarring te voorkomen, liever van `passer en latje’.

De boeken van De Elementen staan dus vol met constructies die niet meer gebruiken dan de bovengenoemde twee stappen. Onder meer ook constructies van

  1. een paralellogram met dezelfde oppervlakte als een gegeven driehoek
  2. een rechthoek met dezelfde oppervlakte als een gegeven rechtlijnige figuur
  3. een vierkant met dezelfde oppervlakte als een gegeven parallellogram

Het patroon lijkt me duidelijk: bij zoveel mogelijk figuren een vierkant maken met dezelfde oppervlakte. Dat is waar het woord `kwadratuur’ (wat ouder: `quadratuur’) vandaan komt: de oppervlakte van een figuur wordt bepaald geacht als er een vierkant met dezelfde oppervlakte is geconstrueerd.
Wat in De Elementen niet wordt gedaan is de oppervlakte van een cirkelschijf bepalen.

Iemand die wel iets over die oppervlakte kon zeggen was Archimedes. Die bewees dat de oppervlakte van een cirkelschijf met straal r gelijk is aan die van een driehoek met hoogte gelijk aan r en basis gelijk aan de omtrek van de cirkel.
Aangezien de omtrek van de cirkel gelijk is aan 2πr is de oppervlakte van de schijf dus gelijk aan ½×2πr×r en dat is gelijk aan het welbekende πr2. Archimedes had deze notaties nog niet tot zijn beschikking; hij moest het bij de bovengegeven formulering houden. Hij liet ook zien dat, in moderne termen, π tussen de twee rationale getallen 3+10/71 en 3+10/70 ligt.
De bewijzen zijn on-line te vinden via de wikipedia-pagina “Measurement of a Circle”.

Onmogelijkheid

In de negentiende eeuw werd duidelijk waarom die kwadratuur van de cirkel niet in De Elementen gegeven was. Het is namelijk niet mogelijk om dat met alleen passer en latje te doen.

De sleutel tot deze oplossing ligt in het invoeren van coördinaten in het
platte vlak en het kijken wat men algebraïsch kan zeggen over de coördinaten van de punten die construeerbaar zijn vanuit de punten (0,0) en (1,0).
Het blijkt dat we met passer en latje kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en vierkantswortels trekken. En dat is alles.
Op deze manier zijn veel getallen, zoals √2, √(√2), √(2+√(3+√5)), … te construcren, maar lang niet alle getallen. In het bijzonder zijn de getallen π en √π niet met passer en latje te construeren; dat werd door Lindemann in 1882 aangetoond: er is geen enkele manier om uitgaande van het getal 1 en met gebruik van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en vierkantswortels het getal π te maken (en √π dus ook niet).

Volgende keer: als niet met passer en latje kan het op een andere manier wel? Het antwoord is ja, maar de constructie kost heel wat moeite.

Voegwoorden en rekenen

“Taal is geen Wiskunde” schreef @onzetaal als reactie op de vorige post. Inderdaad.

In 2002 stond in het tijdschrift Onze Taal een artikel Alle Aaanwezigen Behalve De Kinderen waarin de werking van voegwoorden gerelateerd werd aan, vooral, optellen en aftrekken.

En, helaas, na een bladzijde voorbeelden gaat het meteen mis:

De betekenis van en is gemakkelijk: het komt overeen met de optelling van twee aantallen. In de wiskundige verzamelingenleer worden aantallen als verzamelingen voorgesteld. De betekenis van `Jan is bakker en visser’ wordt in verzamelingstheoretische termen opgevat als `Jan behoort zowel tot de verzameling bakkers als tot de verzameling vissers.’

De betekenis van en is een stuk ingewikkelder dan optellen en dat laat het geciteerde voorbeeld meteen zien: door te zeggen `Jan is bakker en visser’ verwijst men inderdaad naar de doorsnede van twee verzamelingen: Jan∊Bakkers∩Vissers. Echter `Willen alle bakkers en vissers naar voren komen’ verwijst naar een vereniging: Bakkers∪Vissers. En beide mogelijkheden komen niet overeen met optellen: in het eerste geval laten we niet-vissers weg uit de verzameling bakkers en in het tweede geval is het totale aantal mensen niet noodzakelijk de som van de aantallen bakkers en vissers want onze Jan wordt dan dubbel geteld.

Later wordt aan of ook een rekenkundige kant toegedicht. Die lijkt ook verdacht veel op optellen `Jan is bakker of visser’ verwijst (weer) naar de vereniging van de verzamelingen bakkers en vissers. “Jan behoort tot de verzameling die het resultaat is van de samenvoeging van de bakkers en de vissers. Daar moet je nog de doorsnede van aftrekken, omdat Jan niet tegelijk bakker en visser zou kunnen zijn”. Dat is nou jammer, want de tweede helft van de zin is nogal ongelukkig.
Als het er om gaat de bakkers en vissers bijeen te nemen dan is weglaten van de doorsnede niet nodig: iemand mag best bakker en visser tegelijk zijn. Als het om het totale aantal mensen gaat moet je, als boven, het anatal mensen in de doorsnede aftrekken van de som van de twee aantallen om dubbeltellen te voorkomen.
De tweede helft is ongelukkig omdat hij niets uitlegt: door het `zou kunnen zijn’ laat hij in het midden of Jan twee beroepen uitoefent, of niet en maakt hij het `omdat’ niet waar.

Ik proefde daar een beetje het verschil tussen het exclusieve of en het inclusieve of maar het kwam niet geheel uit de verf. In de omgangstaal of of veelal exclusief: een koekje of een snoepje, maar niet allebei. In de wiskunde gebruiken we het inclusieve of, een beetje uit gemakzucht maar vooral omdat het in de Logica allemaal een stuk mooier werkt.

Met de tweedeling aan het eind kan ik het wel eens zijn: er zijn twee soorten voegwoorden, die in de ene groep gedragen zich als binaire operaties (denk aan +, ∪ ∩, …) en die in de andere als binaire relaties (≤, =, ≥, ⊆, …). En daar was het in het artikel om te doen: proberen een vinger te krijgen achter het verschijnsel dat je sommige voegwoorden `binnen/buiten de haakjes kunt halen’. De zinnen `Jan is bakker en Jan is visser’ en `Jan is bakker en visser’ betekenen hetzelfde en zijn syntactisch correct. Maar van `Ik ga naar buiten omdat ik wil hardlopen’ kun je niet `Ik ga naar buiten omdat wil hardlopen’ maken; `omdat’ is hier een binaire relatie en die kun je ook in de wiskunde niet buiten de haakjes halen: 5+a=5+b is niet hetzelfde als 5=a+b.

Ten slotte

Om het werken met voegwoorden met rekenen te vergelijken ligt voor de hand maar is niet de juiste keuze. Beter is het naar de Boolese Algebra te kijken (spreek uit: Boelse Algebra). Deze is voortgekomen uit het werk An Investigation into the Laws of Thought van de Ierse wiskundige George Boole. Daarin wordt gerekend met ∧ (en) en ∨ (of), volgens regels die een beetje op die van het gewone rekenen lijken maar ook niet meer dan een beetje.

Veel van wat in het artikel wordt besproken kan hiermee geanalyseerd worden. De ervaring leert dat de studenten met dat rekenen niet zoveel moeite hebben. Het kost ze (en niet alleen de studenten) veel meer moeite normale zinnen correct naar dit formalisme te vertalen.

Twee keer zo langzaam; de helft langzamer

“Twee keer zo langzaam” betekent hetzelfde als “de helft langzamer”.

Via een tweet van Enith Vlooswijk vond ik deze deze gedachtenwisseling:
Vraag: ‘2 keer zo langzaam’ hoor je vaak, maar is het correct en/of betekent het iets?
Antwoord: Ja, het is correct. Je zou ook kunnen zeggen: ‘de helft langzamer’; dat betekent hetzelfde.

Dit klinkt als iets waar ik het in een eerdere blogpost ook al eens over heb gehad: het door elkaar halen van `twee keer zo X’ en `de helft X-er’. Dat is vaak een gevolg van het door elkaar halen van Begin- en Eindsituatie. In symbolen: `twee keer zo X’ kun je schrijven als E=2B en `de helft X-er’ kun je schrijven als E=B+E/2. In het eerste geval verdubbel je B, en in het tweede geval tel je de helft van E op bij B om E te krijgen. Voor de gewenste ondubbelzinnigheid: werk altijd vanuit de beginsituatie; de juiste betekenis van `de helft X-er’ is daarmee dus E=B+B/2.

In dit geval is er echter nog iets aan de hand. We kijken eerst even in het woordenboek voor de betekenis van langzaam:

  • niet vlug; traag, sloom
  • met geringe snelheid
  • in de vergrotende trap ter aanduiding van een geringere snelheid in relatieve zin
  • zonder snelle overgang of ontwikkeling; geleidelijk

In alle gevallen staat er iets dat eigenlijk niet te kwantificeren is: hoe meet je of iets twee keer zo ‘niet vlug’ is als iets anders? En wat te denken van een twee keer zo geringe snelheid of iets waarvan de snelheid de helft geringer is?

En verder: wanneer is iets langzaam genoeg om deze constructies te kunnen gebruiken? Ik neem aan dat “twee keer zo langzaam als de lichtsnelheid” niet alleen mij de wenkbrauwen doet fronsen?

Misschien wordt daarom het antwoord op de vraag of `2 keer zo langzaam’ iets betekent niet expliciet maar impliciet gegeven: “hetzelfde als `de helft langzamer'”. En ik ben dan geneigd te zeggen: inderdaad, de twee constructies betekenen hetzelfde, namelijk niets.

Nu kan ik wel raden wat de gedachte betekenis van `2 keer zo langzaam’ is: met de halve snelheid. En dan kun je `de helft langzamer’ ook wel duiden: ga langzamer en wel met de helft van de huidige snelheid.

Maar waarom zou je dat dan niet gewoon zeggen?

Toch wat wiskunde

Als we `twee keer zo langzaam’ als `half zo snel’ interpreteren dan komen we uit op de volgende `Behoudswet’: het product van snelheid en langzaamheid is constant. Maar dan betekent `de helft langzamer’ toch echt `twee keer zo snel’.

De ene wortel is de andere niet

Of toch wel …

Er was weer een interessante vraag op de wisfaq. OK, wiskundig gezien niet erg interessant maar wel als inkijk in het hoofd van een/de(?) student.

Een vraag over de cosinus van de helft van arcsin(⅓) leidde tot het volgende: de student had

als antwoord gevonden en het `officiéle’ antwoord was

In de woorden van de student: “En dat is waar ik vastloop.”.

Eigenlijk was de student niet vastgelopen; de oplossing was correct, alleen niet letterlijk gelijk aan het modelantwoord. Voor iemand die met vierkantswortels om kan gaan zou het een koud kunstje moeten zijn het ene antwoord in het andere om te zetten en ik vraag me af waarom dat tot `vastlopen’ zou moeten leiden.

De oefening ging duidelijk om werken met inverse goniofuncties en daar kan de student mee overweg. Hij is kennelijk de routine van de vierkantswortels al weer kwijt. En uit de vervolgvraag blijkt dat hij niet erg stevig in de schoenen staat.

De vraag is wat de vraag is geweest: als er niets meer gevraagd werd dan de cosinus van de helft van arcsin(⅓) dan is het antwoord van de student prima; het modelantwoord is alleen wat mooier gemaakt. Al kun je daar over twisten: aan het antwoord van de student is wat makkelijker te zien hoe groot die cosinus ongeveer is. Als in de vraag stond dat in de wortel alleen gehele getallen mogen staan dan is het modelantwoord het gewenste antwoord maar dan gaat de vraag over meer dan alleen goniofuncties.

Dit alles neemt niet weg dat je van een student zou mogen verwachten dat deze in staat zou moeten zijn de twee wortelvormen aan elkaar gelijk te praten.

KP checkt: 0,004 voetbalvelden

Je moet het eigenlijk niet doen, een grap narekenen. Maar toch, De Speld berichtte over een fenomenale prestatie van Harm, die 20 m2 kliklaminaat had gelegd, ruim 0,004 voetbalvelden. Ik heb dat getal toch even geverifieerd.

Na enig zoeken vond ik op de website van de KNVB een document met op pagina 10 een plaatje van een standaard voetbalveld. De lengte van een veld mag variëren van 100 tot 105 m en de breedte van 64 tot 69 m.

Dan zijn we er snel uit: de oppervlakte van een officieel voetbalveld is minimaal 6400 m2 en maximaal 7245 m2. Even cijferen (of een rekenmachientje) leert ons het aantal voetbalvelden dat Harm aan kliklaminaat gelegd heeft tussen de 0,00276 en 0,003125 ligt, Nederlandse voetbalvelden dan.

Internationaal zit er nogal wat speling in de afmetingen van voetbalvelden zit. Volgens de IFAB website mag de lengte van een veld liggen tussen 90 en 120 m en de breedte tussen 45 en 90 m. Voor internationale wedstrijden is het wat strakker geregeld: lengte van 100 tot 110 m, en breedte van 64 tot 75 m. Bij geschikte keuze van lengte en breedte kan Harm dus inderdaad claimen dat hij ruim 0,004 voetbalvelden aan laminaat heeft gelegd.

Ik ben het overigens wel met deze Wikipedia-pagina eens:

Het voetbalveld wordt ook wel als oppervlaktemaat gebruikt, bedoeld voor mensen die hectare (ha) of vierkante kilometer (km2) te abstract vinden. Het kleinste FIFA-veld past tweemaal in het grootste, dus is een “voetbalveld” geen betrouwbare maat.

Opgave
Harm moest het laminaat ook drie trappen op sjouwen; controleer zijn bewering dat als hij dat nog 30,7 miljoen keer had gedaan hij de afstand tot de maan had afgelegd.

Een `rekenprobleem’

Er gaat weer een vraag het internet rond en de discussies lopen weer hoog op. Hier is de som

De meest gegeven antwoorden zijn 9 en 1; die komen van de volgende twee interpretaties van 6÷2(1+2):

  • 6÷2×(1+2), gelezen van links naar rechts, dus 6÷2 bepalen en dan vermenigvuldigen met (1+2)
  • 6÷(2×(1+2)), dus eerst 2×(1+2) bepalen en dan 6 daar door delen

Welk van de twee is de juiste? Eigenlijk geen van beide omdat het hier om een afkorting gaat waarvan niet duidelijk is hoe die gelezen moet worden.

Hoe dat zo? Welnu, in de (elementaire) rekenkunde hebben we een paar bewerkingen: optellen aftrekken, vermenigvuldigen, en delen. Als we een som opschrijven dan kunnen we die ondubbelzinnig houden door middel van haakjes: (1+2)×3 betekent iets anders dan 1+(2×3). Als we heel strikt te werk gaan moeten we zelfs ((1)+(2))×(3) en (1)+((2)×(3)) schrijven; de reden is dat + en × twee argumenten nemen en door (al) die haakjes word precies duidelijk wat die argumenten zijn.

De mens is lui en wil al die haakjes niet opschrijven en daarom is bedacht/afgesproken dat × en ÷ sterker binden dan + en -, dus 1+2×3=7 omdat we hebben afgesproken dat 2×3 eerst moet worden bepaald en dan pas de optelling. Wat als er even sterk bindende symbolen achter elkaar staan? Van links naar rechts werken zeggen de officiële voorschriften (pagina 20), dus 4÷2×4=8: eerst 4÷2=2 en dat vermenigvuldigen met 4; er staan dus impliciete haakjes: (4÷2)×4.

Maar de mens is nog luier en heel vaak wordt een × weggelaten, bijvoorbeeld in onze som: 2(1+2) staat voor 2×(1+2). Als we die × weer invoegen en de regel “van links naar rechts” volgen komen we uit op 9. Echter, en daar ontstaat de verwarring, sommige mensen vinden dat een weggelaten × sterker bindt dan een expliciete × of ÷; dat is niet een officiële afspraak maar een ingesleten gewoonte. En dan lezen we de som als 6÷(2×(1+2)), met als uitkomst 1.

Wat is de oplossing? Wat mij betreft: de vraag terugkaatsen met “Wat bedoel je?” Als ik zou moeten kiezen dan toch maar het eerste antwoord: × invoegen en dan van links naar rechts werken.
Hieronder een paar antwoorden van rekenprogramma’s en rekenmachienes.
Het beste antwoord komt van het programma bc:

De QAMA-calculator doet gewoon niks; als ik de som intik gaat de cursor weer naar het begin van de regel.

Maple lijkt (1+2) gewoon te negeren

De calculator in mijn telefoon (Android) geeft 9 als antwoord; onderweg wordt 6÷2 uitgerekend, en (1+2) leidt tot een vermenigvuldiging.

En als je niet van haakjes houdt kun je altijd nog dc gebruiken of een andere calculator die met `reverse Polish notation’ werkt:

Het echte verhaal

En voor wie echt tot op de bodem wil gaan: delen bestaat niet, 6÷2 is een afkorting van 6×2-1, waarbij 2-1 de multiplicatieve inverse van 2 is (2-1 is een afkorting voor “dat getal, x, met de eigenschap dat 2×x=1”).
De vraag is dus of de som vraagt naar 6×2-1×(1+2) of naar 6×(2×(1+2))-1.
En eigenlijk zijn × en + ook afkortingen, in de echte officiële wiskunde zouden we alles in gewone functienotatie op moeten schrijven: v(a,b) in plaats van a×b, o(a,b) in plaats van a+b, en i(a) in plaats van a^{-1}. De mogelijke interpretaties van de som worden dan respectievelijk v(v(6,i(2)),o(1,2)) en v(6,i(v(2,o(1,2)))).

(On)zinnige vragen

Op 9 juni 2017 stond er een mooi stuk van Ellen de Bruin in NRC over de leeftijden van haar en haar moeder; die waren namelijk elkaars omgekeerde: 47 en 74. Tijdens het schrijven van dat stuk vroeg Ellen mij mee te denken over wat een vraag zinnig maakt.

Zoals in de krant beschreven deed ik dat denken op de fiets en aangezien ik elke dan naar en van het werk fiets kwam ik af en toe ook weer terug op het begrip `zinnige vraag’. Een beroemd wiskundige hield een groep studenten voor: “there are no stupid questions” en presteerde het bij de eerste vraag uit de zaal te zeggen “Now, that is a stupid question”.

Ik ben het met beide bovenstaande uitspraken eens: in principe is elke vraag zinnig want er spreekt, hopelijk, een wens uit meer te weten, en dan is altijd een goede zaak. Aan de andere kant: als een student op de universiteit zich afvraagt of √(x+y) toch niet gelijk is aan √x+√y dan is dat in die context een onzinnige vraag want die student zou beter moeten weten.

Of een vraag zinnig is hangt dus vaak van de context af; voor wie net heeft geleerd wat worteltrekken is is het verband tussen √(x+y) en √x+√y iets nieuws.

Het artikel van Ellen de Bruin had te maken met de speciale schrijfwijze die wij hanteren om getallen boek te houden, en juist die schrijfwijze maakte mogelijk dat er iets met de leeftijden van Ellen en haar moeder aan de hand was. Als we de, nogal omslachtige, de unaire schrijfwijze voor getallen zouden gebruiken dan zagen de leeftijden er zo uit: |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| en |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||. Daar is niet veel bijzonders aan af te zien.

Echter, onze decimale positionele schrijfwijze, met cijfers voor en achter de komma, is er zo bij ons ingebakken dan mensen nog wel eens vergeten dat het niet meer is dan een schrijfwijze. Er zijn vele manieren in gebruik (geweest) om getallen boek te houden en de huidige Indo-Arabische heeft gewonnen omdat deze op het juiste moment door veel handelaren en wetenschappers gebruikt werd. Maar omdat de schrijfwijze nu eenmaal universeel gebruikt vereenzelvigen veel mensen getallen met die ene schrijfwijze. Dat is normaal gesproken niet erg, “het getal 21” is een stuk korter dan “het getal dat in de Indo-Arabische schrijfwijze wordt weergegeven als 21” maar het kan in de wiskunde leiden tot vragen die echt onzinnig zijn.

Sommige mensen lijken te denken dat de rijen cijfers fysieke entiteiten zijn die je beet kunt pakken, op kunt tillen, en ergens anders neer kunt zetten. Een aantal jaren geleden stuurde iemand mij de volgende vraag: “Is het wiskundig toegestaan de oneindig veel negens in 0,999999… in omgekeerde volgorde vóór de komma te zetten?” Ik parafraseer want in de tussentijd is bij een niet-geplande schoonmaak van mijn harde schijf nogal wat email verloren gegaan. Wat ik toen terug had moeten schrijven is dat dat een onzinnige vraag is en wel hierom.

De uitdrukking 0,999999… is een informele manier om het volgende samen te vatten (af te korten): wij nemen de functie, f, van de verzameling N der natuurlijke getallen naar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, die voor elke n voldoet aan f(n)=9 en we maken daarbij een reëel getal door de termen van de rij f(1)×10-1, f(2)×10-2, … f(n)×10-n, … op een welbepaalde menier bij elkaar op te tellen.

Het onzinnige van de vraag ligt hem in die achtergrond: een informele afkorting van een niet geheel triviaal stukje wiskunde wordt omgebouwd tot een nieuwe afkorting van … van wat eigenlijk? In ieder geval niet van een of ander natuurlijk getal. In plaats van meteen te zeggen dat dit onzinnig was heb ik geprobeerd door tegenvragen de vraagsteller dit zelf in laten zien; dat is niet gelukt. Hij wilde op deze manier een bijectie tussen N en het interval [0,1] maken en mijn vragen leidden daar alleen maar van af.

Rare Vragen, III

In de serie `Rare Vragen uit de wisfaq‘ vandaag een non-vraag.

Hier is de hele `vraag’

Bepaalde lijnintegraal die de wortel van π als uitkomst geeft

Het gebeurt wel vaker: een uitdrukking of vergelijking zonder verder commentaar, maar met de impliciete vraag (een bevel?) om een uitwerking.
Ik kon het niet helpen; ik heb geantwoord met de beroemde voetnoot uit The Life of Lord Kelvin die een wiskundige beschrijft als iemand voor wie de waarde van die integraal net zo duidelijk is als 2+2=4. Zie bijvoorbeeld dit artikel uit de Bulletin of the American Mathematical Society

Rare vragen, II

In de serie `Rare vragen uit de wisfaq‘ vandaag een verschijnsel dat
gemengde gevoelens bij me oproept.

Hier is een voorbeeld

Re: Deelbaarheid door 11
Voor een onderzoekscompetentie zou ik graag iets doen met de deelbaarheid van getallen. Ik wilde een bewijs opstellen voor de deelbaarheid van het getal 11. Hiervoor heb ik dan volgende formule gekregen.

Ik heb ondertussen al ondervonden wat een sommaties en modulo zijn maar snap nog de formule nog steeds niet goed. Zou iemand me kunnen helpen aub?

Het `Re:’ in de vraag geeft aan dat het om een reactie op een antwoord op een eerdere vraag gaat, in dit geval een vraag van de vraagsteller zelf. Hoewel de genoemde `volgende formule’ niet te zien is, gaat het waarschijnlijk om de regel die in het eerdere antwoord gegeven is.

Het verschijnsel waar ik op doelde zit besloten in het woord `onderzoekscompetentie’. De leerling moet kennelijk iets onderzoeken. En dat gebeurt, zo te zien, niet door met `deelbaarheid door 11′ op Google te zoeken (ruim elfduizend treffers) maar door een vraag op een forum te stellen. De eerste vraag klonk nog als een vraag, en kreeg een passend antwoord (al zeg ik het zelf); de follow-up hierboven noemde het onderzoeksaspect maar was passief van toon. Mijn tweede antwoord was een zoekopdracht op de wisfaq; er is heel wat te onderzoeken onder die ruim negentig treffers.

Het komt iets minder vaak voor dan een paar jaar geleden (zegt mijn natte vinger) maar zo af en toe is er weer een vraag die klinkt als: “ik moet/wil een (profiel)werkstuk over onderwerp X maken, kunt U mij onderwerp X uitleggen? Of: kent U websites die wat over onderwerp X zeggen?”

Dat leidt dus tot gemengde gevoelens: je kunt zoiets op een paar manieren lezen/interpreteren: als een vraag het denkwerk voor de leerling te doen of als een echte vraag om hulp omdat de leerling niet weet wat te doen. In het eerste geval wordt ik wat knorrig maar stuur ik de leerling met wat zoektips op weg. In het tweede geval ook, maar de knorrigheid richt zich dan (terecht of niet) op meer dan één doel: de leerling die niet het benul heeft een zoekmachine aan te zetten; de leerkracht die de leerling het bos in stuurt; of het `idee’ dat leerlingen van nature alles willen, en dus zullen, leren. Ik weet niet wie het uiteindelijk verdient maar ik krijg wel door, ook bij het begeleiden van bachelorprojecten, dat het lang nodig blijft leerlingen en studenten duwtjes in de goede richting te geven.

© 2011 TU Delft